ラプラス変換と逆ラプラス変換

質問

Ｌ｛xcosx,t｝このラプラス変換とＬ-1｛1/t(t^2+1)｝この逆ラプラス変換を求めたいのですが、やり方と答えを教えていただけないでしょうか？

答えを無くして困っております。
お願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

答えが無ければ定義から導びけばよい。

逆変換は部分分数展開してラプラす変換表の公式を適用すればいい。

ラプラス変換後の変数は一般的にsを使います。一部の分野でpを使う場合がありますが、tを使う例はこれまで見たことがありません。したがってここではtの代わりにsを使って書きます。必要があればsをtで置き換えてください。

前半）
公式L{cos(x)}=s/(s^2+1)
定義から
∫[0,∞] cos(x)e^(-sx)dx=s/(s^2+1)
両辺をsで微分して
∫[0,∞] -xcos(x)e^(-sx)dx=1/(s^2+1) -2s^2/(s^2+1)^2
-L{xcos(x)}=(1-s^2)/(s^2+1)^2
∴L{xcos(x)}=(s^2 -1)/(s^2+1)^2

後半）
L^-1{1/{s(s^2+1)}｝=L^-1{1/s -s/(s^2+1)}
ラプラス変換表の公式を適用して
={1-cos(x)}u(t)
ただし、u(t)は単位ステップ関数とする。

回答No.1

Tacosan

ラプラス変換は最悪定義に戻って地道に計算する.
逆ラプラス変換も定義に戻ってもいいけど, それよりは部分分数に分解してかラプラス変換の表を見た方が楽.