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円の接線が半径に対して垂直になることの証明

2001/10/12 17:56

円の接線が半径に対して垂直になるのはわかるんですけど証明がいろいろ探してみたんですがどうしても見つかりません誰か教えてください

ryuta_mo
お礼率47% (159/337)

数学・算数
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ezokagura
ベストアンサー率18% (9/50)

2001/10/12 23:45 回答No.5

単純に考えてみました。背理法を用いて、円の接線が半径に対して垂直じゃないものと仮定します。・・・（１）円の中心をＯとして、円周上の接点をＡとして、Ａでの接線をＡＢとして、ＯからＡＢに下ろした垂線とＡＢとの交点をＣとします。ここで垂線を引き、ＡとＣが一致しないところに、（１）の仮定を使っています。三角形ＯＡＣを考えると、直角三角形の斜辺と他の一辺なので、ＯＡ＞ＯＣ・・・（２）円の定義を考えると、（２）より点Ｃは半径ＯＡの円の内側にある。よってＡＣつまりＡＢは接線ではない。・・・（３）（３）は仮定に矛盾するので、（１）が誤っている。よって接線は半径に対して垂直である。あれ？「接線」の定義が最後に（３）で必要となってしまいました。でも自明でしょうか．．数学的には厳密じゃないかもしれませんが、直感的にわかりやすいのではないかと思います。

質問者

お礼 2001/10/13 00:08

わかりやすい説明でしたなぜ教科書に定理が載ってて証明がないのでしょうやっと疑問が解けましたありがとうございます

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kony0
ベストアンサー率36% (175/474)

2001/10/12 22:31 回答No.4

＃３さんの解法について、納得はこれがいちばんいくと思うのですが、一つ問題なのが、接弦定理を証明するのに、円の接線が半径に対して垂直になることを用いるような気がします。背理法を使うこんな証明を見たことがあります。 1. 円O上に任意の点Aをとり、Aを通る円の接線をXYとする。（接線上で点Xと点Yの間にAがあるイメージです） 2. 円の接線が半径に対して垂直でないと仮定すると、角OAXまたは角OAYのどちらかは90度未満である。（以下、角OAXが90度未満とします） 3. OからXYへ垂線をおろし、その足をHとする。2.の仮定より明らかにAとHは異なる点である。さらに、直線XY上で４点X,H,A,Yがこの順に並ぶ。 4-1. 点Aと直線OHに関して線対称な点をBとする。このとき、X,B,H,A,Yはこの順で並び、 4-2. AH垂直OHよりBはAHの延長上、すなわち直線XY上にある 4-3. 円は直径に対して線対称であるから、円周上の点Aを、円の直径OHに関して線対称に移動させた点Bは円周上にある。 4-4. 4-2,4-3より点Bは直線XYと円Oの交点であることが言える。 5. 即ち円Oと直線XYは、２点A,Bで交わることになる。これはXYが円Oの接線であることに矛盾する。 6. 従って、円の接線は半径に対して垂直である。（終）はて、文字で伝わるかどうかと、この議論が正しいか、どちらも自身ないですが。

質問者

お礼 2001/10/13 00:03

ありがとうございますわかったような気がしましたとてもわかりやすい証明でしたとにかくあってるかを別にして何がいいたいのか良くわかりました私が見た限りではあってるような気がしたんでまた数学の先生と話してみます

Cake0530
ベストアンサー率25% (3/12)

2001/10/12 19:39 回答No.3

　えぇっと、中学３年生の幾何のところで習う・・・なんていう定理だっけ。　ほら、接点から円の内部にむかって半直線を引くと、弦になりますよね？「その弦に対する円周角と、弦と接線が為す角は等しい」っていう定理があったと思います。その特別な場合として解釈できるかと。　円の中心を通る直線を引いたとき（直径でも同じこと）、その直線と円の２つの交点に対する円周角は９０°であることは知っていると思います。で、その直線と円の２つの交点（直径の両端でも同じ意味）のうちの１つ（どちらでもいいんですが）において接線を引くと、上の定理から“接線と、中心から接点に引いた半直線の為す角は９０°”であることが分かります。　グラフでなく言葉で説明したのでいささか煩雑ですが、この定理が一番はじめに証明できるようになるのは↑だと思います。ｂｒｏｇｉｅさんの仰る通り、微分法を使えばより簡単に証明できるのですが。

質問者