円の接線に関する問題の解説で分からないところが

質問

円の問題で、

円の外部の点P（p,　q)から２本の接線を引き、接点を点A,　Bとしたとき、その２点A,　Bを通る直線を考えるとします。

A(a,　b) B(c,　d) とおくと、これらの点における接線の方程式は、それぞれ
　ax＋by＝半径の二乗　　cx＋dy＝半径の二乗

これらが点(p,　q)を通るから
　ap＋bq＝半径の二乗　　cp＋dq＝半径の二乗

・・・となることは分かるんですけど、次の記述

ゆえに、２点A,　Bを通る直線の方程式は
　px＋qy＝半径の二乗

・・・となる理由が分かりません。AをいれてもBを入れても右式が変わらないからですか？なんだか納得できないんです。解説してください！
数学不得意なので、易しく説明して欲しいです。

回答No.2

graduate_student · ベストアンサー

これは「極と極線」という問題で，有名問題として取り上げられます．

例えば，2000年阪大理系数学(I)がその問題です．

解説は以下の通りです．

円 x^2 + y^2 = r^2 の外側にある一点 (x_1, y_1) から
その円に引いた接線は二本ある。
各々の接点を (a, b), (c, d) としよう。
公式によって, これらの接線は
ax + by = r^2,
cx + dy = r^2
である。
これらは各々 (x_1, y_1) を通る。
従って
ax_1 + by_1 = r^2,
cx_1 + dy_1 = r^2
を満たす。
さて, 直線
x_1・x + y_1・y = r^2
を考えよう。 ここに (a, b), (c, d) を代入すると
ax_1 + by_1 = r^2,
cx_1 + dy_1 = r^2
となって, 上記と同じだから, この等式は満たされる。
ということは直線
x_1・x + y_1・y = r^2
は点 (x_1, y_1) から円 x^2 + y^2 = r^2 に引いた
二本の接線の両接点を通っている直線であることが分かった。

因みにこのとき最初の点 (x_1, y_1) を極 (pole),
求まった直線 x_1・x + y_1・y = r^2 を極線 (poler)
という。

お礼

回答ありがとうございました。
有名問題だったんですか？そういやいつか昔、「極と極線」って見たことある気が・・・でもコレとは分かってなかったです。
詳しい解説、とても参考になりました！分からない所がすっきりしました。

回答No.1

springside

たぶん、こんな感じなのではないでしょうか。

基本事項：直線の式はx,yの１次式であり、直線上の２点が判れば１つに決定される。

上記の基本事項を踏まえると、2点A,Bを通る直線の式は、以下の３つが全て満たされているものであればよい。（どんな方法でもいいから、３つを全て満たすものを見つけ出せば、それが解答、ということ）

１：x,yの１次式であること。
２：x,yにAの座標を代入すると成立すること。
３：x,yにBの座標を代入すると成立すること。

ところで、
　ap+bq=r^2
　cp+dq=r^2
なので、１次式px+qy=r^2は、上記１～３を満たしている。よって、求める直線はpx+qy=r^2である。

お礼

回答ありがとうございました。
あ～確かに！！！冷静に考えたらそうかって思いました。やっぱり数学は苦手です・・・。