剛体衝突について

質問

静止している剛体球Ａに、同じく剛体である球Ｂを斜めに衝突させると、

　衝突後の球Ａ、球Ｂの動く方向は、衝突時の球Ａ、球Ｂの位置が決まれば　

　おのずと判るのですか。そうであれば　どのようなルールに基ずいているのか

　教えて下さい。

回答No.4

Zincer · ベストアンサー

>？　Zincerさんの
>ＶB1x－ＶA1x＝ＶA0x（＝Ｖ0ｃｏｓθ）　・・・（１）’
>（Ｖ0ｃｏｓθ＝）ＶA0x＝ＶA1x＋ＶB1x　・・・（２）’
>の連立って、答えがでないような？　(VA1x=0?)
失礼しました。私の計算は速度Ｖ0を持つ球Ａを、静止している球Ｂに衝突させた場合ですね。
tokomaiwasaさんの設定と逆の為、tococheさんの誤解を招いたものと思いますが、考え方は一緒です。
上の式をtokomaiwasaさんの設定の場合に修正しますと、（添え字のＡとＢをいれかえるだけですが）
ＶA1x－ＶB1x＝ＶB0x（＝Ｖ0ｃｏｓθ）　・・・（１）’
（Ｖ0ｃｏｓθ＝）ＶB0x＝ＶB1x＋ＶA1x　・・・（２）’
となり、
ＶB1x＝０
ＶA1x＝ＶB0x＝Ｖ0ｃｏｓθ
ついでにｙ軸方向は（衝突前後で変化無し）
ＶB1y＝Ｖ0ｓｉｎθ
ＶA1y＝０
と、なりますね。

修正ついでに補足しておきますが、tococheさんの
＞同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として生き残ると考えています。
という、表現には誤解がはいっていませんか？たしかに（総）エネルギーは保存されるでしょうが、私の言った「運動エネルギー」は保存されません。
極例として、θ＝０°（正面衝突？）、μ＝０（衝突と同時に接合し球ＡＢが一緒に動く場合：brogieさんの言葉を借りれば「完全非弾性衝突」）を考えて見ましょう。（ちなみにμ＝１の場合を「完全弾性衝突」と呼びます。これ以外を「非弾性衝突」と呼びます。）
【衝突前】
Ｍ・Ｖ0＾2／２
【衝突後】
計算は省きますが、質量が２Ｍになるので、
ＶA＝ＶB＝1/2Ｖ0　ですから
［２Ｍ・（1/2Ｖ0）＾2］／２＝Ｍ・Ｖ0＾2／４
と、運動エネルギーは衝突前の半分になります。

お礼

ご丁寧なお答え感謝致します。ｔｏｃｏｃｈｅさんに対するお答えも、助けと

　なり何とか理解できました。本当に有難う御座いました。これからも宜しく

　お願い致します。

回答No.3

tocoche

tococheです。

？　Zincerさんの
ＶB1x－ＶA1x＝ＶA0x（＝Ｖ0ｃｏｓθ）　・・・（１）’
（Ｖ0ｃｏｓθ＝）ＶA0x＝ＶA1x＋ＶB1x　・・・（２）’
の連立って、答えがでないような？　(VA1x=0?)

衝突後の挙動は運動量保存の法則に従いますが、運動量保存の法則を満たす速度の組み合わせはいっぱいあるので、同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として生き残ると考えています。

この直角解については、中学のときに読んだ物理の本（もう持っていない）に粒子の軌跡を示した図があり、「衝突後の軌跡は運動量保存の法則に従い直角となる」とあったので、運動量保存の法則を知ったとき直角解を図形的に見て、なるほどと納得しました。（運動エネルギーの方は、そのまんま三平方の定理でＯＫですから）
直角解を数学的に導き出したわけではないので、数学的なことはちょっと弱いですが。

お礼

ｔｏｃｏｃｈｅさんの質問を絡めたＺｉｎｃｅｒさんの説明から、何とか

　理解するこたができました。ありがとう御座いました。

回答No.2

Zincer

一応回答が得られているみたいですが、私のわかる範囲で条件を拡張しておきます。
１．無重量空間に２つの球は浮いているとします。
（床面でも摩擦の無い状態で滑っていけば同条件ですが、回転運動が入るとbrogieさんの仰るようにより複雑な式が必要になるため、パスさせてください。）
２.抵抗、両球間の摩擦及び万有引力は無視します。
（永遠に球の運動は止まることはありませんが、勘弁してください。）

すべての衝突（接触）直前の両球間の速度が、

↓（Ｖ0）
○●　　～　　→○●
θ＝９０　　　θ＝０
（後の説明の為　→：ｘ軸　　↓：ｙ軸とします）

の間にあることはご理解いただけますでしょうか？
（tococheさんの回答のθ（０～９０°）と対応させています。）
後は下式で定義される跳ね返り係数μが与えられれば、衝突前後のそれぞれの球の速度は計算されます。（tococheさんの回答はμ＝１とした場合で、剛体球の場合はμ≒１として良いはずです。）
μ＝（ＶA0x－ＶB0x）／（ＶB1x－ＶA1x）　・・・（１）
＜要するにｘ軸方向（両球間の中心軸方向）の両球間の相対速度の比に－１を掛けたもの。＞
tokomaiwasaさんの条件の場合は
ＶB1x－ＶA1x＝ＶA0x（＝Ｖ0ｃｏｓθ）　・・・（１）’
【ＶA0x，ＶA1x　は球Ａの衝突前(0)と後(1)のｘ軸方向の速度を意味しています。】

ここでもう1つｘ軸方向の運動量保存則を適応します。
ＭA×ＶA0x＋ＭB×ＶB0x＝ＭA×ＶA1x＋ＭB×ＶB1x　・・・（２）

tokomaiwasaさんの条件（ＭA＝ＭB？）の場合は
（Ｖ0ｃｏｓθ＝）ＶA0x＝ＶA1x＋ＶB1x　・・・（２）’
【ＭA，ＭBは球ＡＢの質量】
これで衝突後の両球のｘ軸方向の速度が算出されます。（tococheさんの回答は（１）’と（２）’の連立方程式から得られる解です。）

両球間に摩擦が無い場合はｙ軸方向のそれぞれの速度成分は変化しません。衝突後の速度はそれぞれのｘ軸方向とｙ軸方向の速度ベクトルの和のなります。

一応補足しておきますが、衝突前後で運動エネルギーの総和が保存されるのはμが１の場合のみです。

こんなもんでいかがでしょうか？

回答No.1

brogie

ビリヤードの動きを観察されると、大体のボールの動きがわかりますが、衝突後
の２つのボールは異なるスピードで回転していて、大変複雑ではないでしょうか？

　初期条件が与えられると、その後の運動は、古典力学では確定しますから、衝突後の２つのボールの運動は分かる筈です。しかし、解析的に解けるかどうか、ということとは別問題です。

　動いているボールの並進スピードと回転スピードはいくらか？
また、回転はどういう方向に回転しているか？
ボールとボール、ボールと床の摩擦係数はどうか？
弾性衝突か非弾性衝突か？
など、tokomaiwasaさんが以前質問されておられる、コインの問題より複雑になるでしょう？

お礼

お答え有難う御座いました。お礼が遅くなり申し訳御座いませんでした。

　色んな要素が絡み複雑ですね。今しばらく考えて見ます。