回転する球同士は、衝突後どんな回転になるか。

質問

僕は３Ｄ物理演算のプログラムを作りたいと思っています。
大学生ですが知識は高校物理までしかなく、剛体の角運動量や慣性モーメント等が様々なサイトを見ても自分の疑問と関係するのかどうか、よくわかりません。

●質問
空間は三次元。２つの球にちっちゃな突起がたくさん付いています。同方向に回転中、それぞれの突起がガチッとギアのようにぶつかった（完全弾性衝突、e=1、熱には少しも変換されない衝突）とします。このときこの回転衝突の前後の角速度の変化はどうなるのか教えてください。
例えば、
球Ａ・・・質量ma、半径ra、角速度θa（ここから見て時計回り）
球Ｂ・・・質量mb、半径rb、角速度θb（ここから見て時計回り）
など。
互いに並進速度0、位置は隣り合わせ、触れてないが、ちっちゃな突起同士がぶつかる程度の微妙な距離離れている。

●質問の経緯
僕は３Ｄ上の球が衝突した時の、並進ではなく回転の処理を、摩擦などを含めてどう処理すればいいかと思って質問しました。高校の知識を使って考えたところ、球の回転に関わる運動量を求め、運動量保存則と反発係数の式を作って解くという方法がいいかなと思いました。しかし運動量全体がゼロになる（？）と気づいて混乱しています。気づく前まではきっと反発係数eを調節すれば摩擦の強い弱いが調節できると思っていました。（e=-1ならツルツルの面、e=1ならギアのようにガチっと受け止める最強の摩擦、e=0ならぶつかるとなぜか回転が止まる不思議なボール）そして偽物（かどうかまだわからないけど）の合計した運動量を使って運動量保存の式を作り、反発係数の式を作っていました。ここで反発係数の式についても疑問がありました。
e = (θ'a - θ'b) / (θa - θb)
と角速度だけを使えばいいのか、
e = (ra*θ'a - rb*θ'b) / (ra*θa - rb*θb)
と半径を入れて円盤なら円周、球なら回転軸をたてにして、横に切ると一番でかい円になる円周の速度を使うのか、
e = (ra^3*θ'a - rb^3*θ'b) / (ra^3*θa - rb^3*θb)
と三次元だから半径を三乗するのか、というところがわからなくてそこで止まっています。

●自分なりのアプローチ
・運動量の合計を求めるまで
球の回転に関係する運動量の合計を積分で求めたのですが、重大なミスに気が付きました。
運動量をスカラーとして合計してしまって、(4/3) * PI * mass * radius * θとなったのですが、よく考えると運動量はベクトルだったと気づき、しかしベクトルなら回転する球の運動量の合計はゼロになってしまうので、運動量保存則でこの回転衝突問題を解くことはできないのか？と混乱しています。

●回転衝突が並進にも影響するのかどうか
ギアみたいに硬い小さい質量の無い突起がついた円盤二つが回転しながら衝突したとき、並進の衝突処理は、２球の速度のうち、相対位置ベクトルに平行な成分のみに行えばいいと思っています。（高校で平面上での衝突は成分分解をやると習ったので。）
突起がついていることで、回転にも変化が現れると思うのですが、これは完全に並進と分けて考えることができるのでしょうか、それとも突起の衝突が回転だけでなく並進にも影響するのでしょうか。

以上です。宜しくお願いします。m(_ _)m

回答No.3

eatern27

#1です。
突起のモデルよりも「垂直抗力に比例する摩擦が働く」というモデル(#2さんのリンク先にあるモデル)の方が現実に近いし計算もしやすいだろうと思って、別のモデルを考えてもいいのかと聞いたのですが、少なくともあまり球の回転が速くない場合などには明らかに現実と合わない結論になるので、回転する球同士の衝突は結構やっかいな問題だったのですね。

興味があったので、どういうモデルがそれらしいか少し考えてみました。
角運動量などを知らないと説明できない部分があるので結論だけにしてしまいますが、
衝突時にエネルギーが外部から供給されない事などを仮定しますと

e = - ((v'a-ra*θ'a) -(v'b +rb*θ'b) / ((va-ra*θa) -(vb +rb*θb))

によって定義される量が-1から1の間(※1)の値をとらなければいけません。vaなどはそれぞれの球の衝突前後の図の上下方向(接触点における接線方向)の速度です。

※1: 現実の衝突では-1から0になるだろうと思います。

上記の式は貴方の言う「突起」同士の衝突による反発係数を考えたものと同じ量になっていますが、eの値が取るであろう符号が通常の衝突の場合とは違うので、必ずしも「突起の衝突」という解釈は適切ではない気がします。

また、貴方が質問でお書きになった
>e = (ra*θ'a - rb*θ'b) / (ra*θa - rb*θb)
この式に近いのですが、
・球の重心の速度が含まれている
・球の回転による速度の符号の係数が同符号になっている(※2)
・全体の式が-1倍されている(※3)
この３点が異なります。

※2: 多分、va=vb=0の時に突起の相対速度が0になるのはθa,θbが異符号の時である事を考えると、上記の式が正しい事が納得できるのではないでしょうか。
※3: -1倍をつけるかどうかは定義の問題ですが、通常の反発係数の式と同様にするために-1倍をつけています。「e=-1の時にツルツルの面」としたいのなら、-1倍をつけることが必要です。

普通の反発係数でも一緒ではあるのですが、上記のように定義したeが「定数」でなければいけない理由はありません。ひょっとしたら垂直抗力などに依存しているかもしれません。
でも|e|が1以下という制限があるので、適当な条件下ではeが定数であると近似するのは現象論的には正しいのではないかと思います(ただし、実例は知りません)。

まぁ、私が勝手に考えた事なのであまり信用しない方がいいかも。

回答No.2

yokkun831

残念ながら，考察されている回転球の衝突は，高校レベルの力学では解くことができません。

回転の「運動量」の交換を，摩擦のかわりに衝突に変えて運動量保存で記述しようという試みをされようとしているのだと推察しました。しかし，すでにお気づきのように回転運動の「運動量交換」を通常の運動量で記述することはできないのです。回転運動にともなう「角運動量」という量の交換を考察する必要があるのです。

運動方程式が
運動量の時間変化率＝力
であるのに対して
回転の運動方程式は
角運動量の時間変化率＝力のモーメント
という形で与えられ，これが回転の運動量＝角運動量の交換を支配する法則となります。運動量に対する慣性が質量であるのに対して，角運動量に対する慣性として慣性モーメントという剛体の属性についても知る必要があり，大学レベルの力学の知識が必要です。

下記など参考になれば幸いです。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/554.html
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/557.html
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/559.html

補足

その通りです、摩擦を衝突に置き換えて考えようとしました。
角運動量という量の交換を考えるのですね。
角運動量の基礎知識をつけて、yokkun様の３つの解説ページを参考させて頂きたいと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.1

eatern27

回転する球同士の衝突を扱えれば、突起がついていないモデルで考える事にしても構わないのでしょうか？
それとも、突起がついているモデルで考えた時にはどう考えるのがもっともらしいか、というのが質問の趣旨ですか？

>●回転衝突が並進にも影響するのかどうか
バックスピンをかけたボールをバウンドさせた時(地球に衝突させた時)、ボールが戻ってくるのを見たことはないですか？
むしろ、こういう現象を計算で再現したいのではないのでしょうか？(地球ほど大きい球は考えてはいないのでしょうが)

補足

回転する球同士の衝突が扱えれば突起がついていなくても大丈夫です。
何故なら突起を話に出したのは、突起が摩擦の置き換えになるのではないか、又そちらのほうが衝突の概念を使って考えやすいのではないか？という僕が予想したからです。

それから、おっしゃるとおり、バックスピンをかけたスーパーボールが戻ってくるような現象を扱いたいです。ゴムが変形して床にペタッと張り付き、摩擦が大きく増えるのでしょうか？現象が複雑そうですが、定式化したりはできないでしょうか。