複素数での三角不等式について

質問

||z1|－|z2||≦|z1＋z2|≦|z1|＋|z2|（Oは原点）
はどうして左側の等式が成り立つときz1、O、z2はこの順で一直線に並び、また右側の等式が成り立つときO、z2、z1またはO、z1、z2の順で一直線に並ぶのでしょうか？

回答No.2

postro · ベストアンサー

zと共役な複素数を\zと書きます。
z1=r1(cosθ1+isinθ1)
z2=r2(cosθ2+isinθ2)
とおくと
\z1=r1(cos(-θ1)+isin(-θ1))
\z2=r2(cos(-θ2)+isin(-θ2))
与式の左側の等式が成り立つとき
||z1|－|z2||=|z1＋z2|
両辺２乗して
|z1|^2+|z2|^2-2|z1||z2|=(z1＋z2)(\z1＋\z2)=|z1|^2+|z2|^2+z2\z1+z1\z2
ゆえに
2|z1||z2|+z2\z1+z1\z2=2r1r2+z2\z1+z1\z2=0
ところで
z1\z2=r1r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))
z2\z2=r1r2(cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1))=r1r2(cos(θ1-θ2)-isin(θ1-θ2))
よって
2r1r2+z2\z1+z1\z2=r1r2(2+2cos(θ1-θ2))=0
r1もr2も0でないとすると
cos(θ1-θ2)=-1
すなわち
θ1-θ2=π+2nπ　　(nは整数)
これはz1とz2が原点と対称の位置にあることを示している。つまりz1、O、z2はこの順で一直線に並んでいる。

与式の右側の等式が成り立つとき
|z1＋z2|=|z1|＋|z2|
両辺２乗して同様に考えると、
r1r2(2-2cos(θ1-θ2))=0
cos(θ1-θ2)=1
すなわち
θ1-θ2=2nπ　　(nは整数)
これはO、z2、z1またはO、z1、z2の順で一直線に並んでいることを示している。

お礼

たった今あなた考えを参考にして自分でも証明してみたら納得がいき、よく分かり、すっきりしました。ありがろうございました。

回答No.1

sunasearch

ベクトルで考えればわかりやすいですよ。

a,bを原点からz1,z2へのベクトルとして、左の二つの不等式を二乗すると、
a^2 -2|a||b|+b^2 ≦ a^2 +2ab + b^2

等式は、-|a||b| = ab = |a||b|cosθの時に
成り立ちますから、cosθ = -1。
つまり、原点を挟んでz1,z2が１８０度の位置にあるときに成り立ちます。

補足

回答ありがとうございます。説明はかなりわかりやすいと思うのですが、なにせ私が数学が苦手のもので・・・今から自己解釈してみますが分かるかどうか・・・不安です。。