複素数の問題

質問

複素数平面において、α＝1＋√3iを原点Oを中心にθだけ回転した複素数をα'とし、β＝－1－iを原点Oを中心に－θだけ回転した複素数をβ'とする。
原点Oとα'、β'が一直線上にあるときのθの値を求めよ。
ただし、0°＜θ＜360°とする。

ちなみに答えはθ＝82.5°172.5°262.5°352.5°です。
図を描いてむりやり解くと何とか答えは合うのですが、どのように記述すればいいか解らないので、問題の解法と、出来れば記述の例を教えていただけると助かります。

回答No.4

sakura_214 · ベストアンサー

記述は偏角だけに注目して，複素数そのものはあまり考えなくていいでしょう．

arg(α)=60°，arg(β)=225°なので，arg(α')=60°+θ，arg(β')=225°-θです．
原点Oとα',β'が一直線上にあるための必要十分条件は，arg(α')=arg(β')+180n （nは整数）なので，
60°+θ=225°-θ+180n → θ=82.5°+90n
となります。0°＜θ＜360°なので，n=0,1,2,3のときがこれを満たします．すなわち，
θ=82.5°（n=0のとき），172.5°（n=1のとき），262.5°（n=2のとき），352.5°（n=3のとき）

回答No.3

BLUEPIXY

αのｘ軸からの角度は６０°
βのｘ軸からの角度は２２５°
それぞれの角度は、極座標表現
ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）から簡単にわかりますよね。
条件の一直線になるとは、
それぞれの角度が同じになるかあるいは１８０°違いになるかなので、
（６０＋θ）－（２２５－θ）＝０または１８０
より、
θ＝８２．５，１７２．５が求まります。
ところで、ここから、それぞれ１８０°回ると反対側で一致するから
θ＝θ＋１８０
＝２６２．５，３５２．５が求まります。

回答No.2

backflip

tanα=√3
tanβ=1
tan(α+θ)=tan(β-θ)
ここからtanθについて解くことになると思います。
しかし答えから分かるように、簡単な角度ではないので、
図を使った解法がいいのではないでしょうか？

回答No.1

ryn

まず，α,βの偏角を求めましょう．

それらを θ および -θ 回転したものが
α',β' の偏角です．

あとは一直線上にあるという条件を
それぞれの偏角の間の関係式にすると
どうなるか考えれば解答を得られます．