テイラー展開の問題について教えてください

質問

次の問題を教えてください。

問．関数f(x,y)=√1+ax+byを原点(0,0)の周りでテイラー展開し、３次の項まで表せ。

よろしくおねがいしますｍ（＿ ＿）ｍ

回答No.3

alice_44

誤字訂正：

o(z^4) が x,y の４次以上になることは、解るね？

回答No.2

alice_44

やや簡単な計算法：

g(z) = √(1+z) を z = 0 の周りで３次の項までテイラー展開し、
そこへ z = ax+by を代入する。

g ' (z) = (1/2)(1+z)^(-1/2),
g '' (z) = (1/2)(-1/2)(1+z)^(-3/2)
g ''' (z) = (1/2)(-1/2)(-3/2)(1+z)^(-5/2)

より、
g(z) = 1 + (1/2)z + (-1/4)(z^2/2) + (3/8)(z^3/6) + o(z^4).

よって、
f(x,y) = 1 + (1/2)(ax+by) - (1/8)(ax+by)^2 + (1/16)(ax+by)^3 + o(z^4).

o(z) が x,y の４次以上になることは、解るね？

回答No.1

info22_

参考URLの定理2.112の展開公式で3次項まで計算するだけの問題です。
書き下せば次式のようになる。
f(x,y)=√(1+ax+by)
=f(0,0)+(x∂/∂x+y∂/∂y)f(0,0)+(1/2)(x∂/∂x+y∂/∂y)^2 f(0,0)
+(1/6)(x∂/∂x+y∂/∂y)^3 f(0,0)+ R[4]
=f(0,0)+fx(0,0)x +fy(0,0)y +(1/2)fxx(0,0)x^2 +fxy(0,0)xy +(1/2)fyy(0,0)y^2
+(1/6)fxxx(0,0)x^3 +(1/2)fxxy(0,0)x^2 y +(1/2)fxyy(0,0)xy^2 +(1/6)fyyy(0,0)y^3
+R4
（ここで、R4は４次以上の余剰項です。）

後は(0,0)における偏微分係数をひたすら計算して上式に代入するだけです。
計算は一部だけ計算しておきますので残りは自身でおやり下さい。
f(0,0)=1
fx(x,y)=∂f(x,y)/∂x=(a/2)(1+ax+by)^(-1/2), fx(0,0)=a/2
fy(x,y)=∂f(x,y)/∂x=(b/2)(1+ax+by)^(-1/2), fy(0,0)=b/2
fxx(x,y)=∂fx(x,y)/∂x=((a^2)/2)(-1/2)(1+ax+by)^(-3/2),
fxx(0,0)=-(1/4)(a^2)
fxy(x,y)=∂fx(x,y)/∂y=
fxy(0,0)=
fyy(x,y)=∂fy(x,y)/∂y=
fyy(0,0)=
fxxx(x,y)=∂fxx(x,y)/∂x=((a^3)/2)(-1/2)(-3/2)(1+ax+by)^(-5/2),
fxxx(0,0)=(3/8)(a^3)
fxxy(x,y)=∂fxx(x,y)/∂y=((a^2)b/2)(-1/2)(-3/2)(1+ax+by)^(-5/2),
fxxy(0,0)=(3/8)(a^2)b
fxyy(x,y)=∂fxy(x,y)/∂y=
fxyy(0,0)=
fyyy(x,y)=∂fyy(x,y)/∂y=
fyyy(0,0)=

参考URL：

http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2005.calculus-II/html.dir/node35.html