表現行列の正確な意味とは?
宜しくお願い致します。
[Q]Let T∈L(V).Write down matrix representation of [T]_β and [T]_β'
given the following basis:
β:v1,v2,…,vn
β':v'1,v'2,…,v'n
という問題なのですがこの場合の表現行列とは何を意図するのかはっきりわかりません。
『[定義]
n次元F線形空間Vの基底を{v1,v2,…,vn}とし、map g:V→F^nを
V∋∀Σ[i=1..n]civi→g(Σ[i=1..n]civi):=t(c1,c2,…,cn) (tは転値行列を表す)
でgを与えるとgは同型写像となる。
ここで{v1,v2,…,vn}の順序を変えるとgは別物になってしまうのでこの順序を込めた
基底
{v1,v2,…vn}をβ:=[v1,v2,…,vn]と表す事にし、このgをβによって決まる同型写像
と呼ぶ事にする。
m次元F線形空間Wの基底をβ':=[w1,w2,…,wm]によって決まる同型写像をh:W→F^mと
し、
線形写像f:V→Wに対し、合成写像hfg^-1:F^n→F^mは線形写像となる。
行列表現とは始集合のF線形空間Vの基底[v1,v2,…,vn]=:βと終集合のF線形空間Wの
基底[w1,w2,…,wm]=:β'とし、f∈L(V,W)において
f(vj)=Σ[i=1..m]aijwi (j=1,2,…,n)で定まる行列(aij)=:Aを
βからβ'へのfによる行列表現という』
だと思います。
つまり、表現行列を正確に述べるには"基底何々から基底何々への線形写像何々による表現行列"
という風に3項目はっきり述べないといけないと思います。
さて、線形変換の場合,
上記の問題文で[T]_βと書いた時、これは
(1)基底βからβへの線形写像Tの表現行列
(2)基底βからβ'への線形写像Tの表現行列
(3)基底β'からβへの線形写像Tの表現行列
のどれを意図しているのでしょうか?
