お願いします。

質問

「１　　－2　　１　　　３　　０　　２　┐
行列Ａ＝｜－2　　５　　－3　　－4　　０　　－1｜
　　　　　　｜３　　－8　　５　　　11　　０　　３ ｜
　　　　　　└－1　　２　　－1　　 ３　　０　　１　」

　　Ｂ＝「１　０　０　２┐
　　　　└２　０　０　０」　　　に対して、
線型写像φＡ、φＢＡの核空間及び像空間の次元を求めよ。

という問題なのですがこのサイトで度々ヒントをもらいながら解いているのですが答えがないので自分が解いた答があっているのかわかりません。

自分が出した答えは
前者の次元が４．後者の次元が２．と出たのですが、あっていますか？

回答No.1

milkysugar · ベストアンサー

まずφ_Aの像空間を考えます．像空間の次元は，行列表示のrank（階数）に等しいはずですね．
＃ というのは，像空間はAを構成する6つの縦ベクトルの線型結合で書けるもの全体だからです

よって，Aを対角化すればrank A = 3，つまりdim Im φ_A = 3です．

φ_Aの定義域の線型空間は次元が6で，像は次元が3ですから，核空間（つまりφ_Aで0にうつる空間）は，φ_Aで潰れる次元，つまり6-3 = 3となります．

φ_BA = φ_B ( φ_A )　，つまり合成です．
φ_Bの像空間は次元が2です．（階数は明らかに2ですね）
後は，φ_BAに適当な二つのベクトルを代入した時その2つの像が線型独立であることが言えるので，
＃ この二つのベクトルは自分で探してください
dim Im φ_BA = 2です．
先程と同様に dim Ker φ_BA = 6-2 = 4となります．