ヴィエトの公式の証明は？

質問

こんばんは。

ヴィエトの公式、
π = 2*2/√2*2/(2+√2)^(1/2)…
の証明法が思いつきません。

詳しい方、ご教授をどうかおねがいいたします。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

半径1の円について、中心角φの弦の長さL(φ)は
　L(φ) = 2 sin(φ/2) = 4 sin(φ/4) cos(φ/4)
中心角φ/2の弦の長さは
　L(φ/2) = 2 sin(φ/4)
したがって、
　2L(φ/2)/L(φ) = 1/cos(φ/4)

これを使うと、内接正2n角形の周の長さP(2n)と内接正n角形の周の長さP(n)の比は
　P(2n)/P(n) = 1/cos(π/(2 n))

ここで、
　C(k) = cos(π/(2^(k+1))), k = 1,2,…
とおくと、初項は
　C(1) = √(1/2)
半角公式
　cos(θ) = √(1/2 + cos(2θ)/2)
より漸化式
　C(k+1) = √(1/2 + C(k)/2)
が得られます。
この数列C(k)を使って、
　P(2^1) = 4
　P(2^2) = 4/C(1)
　P(2^3) = 4/(C(1)C(2))
一般に
　P(2^n) = 4/Π[k=1 to n-1]C(k)

lim[n→∞]P(2^n) = 2 π　より、

　π = 2/Π[k=1 to ∞]C(k)

お礼

こんにちは。

ご回答ありがとうございました。
よくわかりました。

回答No.1

ryn

最初の k 項の積は半径1の円に内接する正 2^{k+1} 角形の面積になっています．

お礼

こんにちは。

アドバイスありがとうございました。
このことは自分でも気づいたのですが…＾＾；