極限の公式の証明

質問

極限の公式で
lim[x→+∞]x^n/e^x=0 (n=1,2,3,…)
と本にあるのですが、一体どうやったら上記の式が成り立つと証明できるのでしょうか？
なにかヒントでも結構なので教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.3

age_momo

#1さんの回答見れば明らかだと思うのですが、

e^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+・・・+{1/(n+1)!}x^(n+1)+・・

より

e^x　>　{1/(n+1)!}x^(n+1)

よって

x^n/e^x　<　x^n/{1/(n+1)!}x^(n+1)=(n+1)!/x

lim[x→+∞]x^n/e^x　<　lim[x→+∞](n+1)!/x=0

で挟み撃ちできますね。

回答No.2

whitedingo

e^xのとは
e^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+・・・+(1/n!)x^n+・・
ということです。

お礼

お返事遅くなり大変申し訳ございません。
回答ありがとうございます。
e^xのテイラー展開ですよね。
それは、わかるのですが、それをどのように使用したら
良いのでしょうか？
申し訳ございませんが、教えてもらえると光栄です。
よろしくお願い致します。

回答No.1

tomo_momo

直感的には、e^x　を展開すれば どんなｎをとっても、x^(n+1)　より高次の項がふくまれるからじゃないの。

お礼

返事が遅くなり大変申し訳ございません。
回答ありがとうございます。
申し訳ないのですが・・・。
考えてみたのですが、x^(n+1)<e^xはどのように
求めたら良いのでしょうか？
もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
申し訳ございません。