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先週帰納法というものを本で読み、感激したのですが、学校では使う機会がなさそうです。どなたか帰納法で解ける問題を提示していただけませんか？問題のレベルは問いません。非常にわがままな質問なのですが、優しい方、どうかよろしくお願いします。

∫{1/√(x^2+A)}dx = log|x+√(x^2+A)| の証明をしようとしています。 x=tanθと置いて、置換積分をすると、 ∫secθ dθ となりました。 ∫{cosθ/(1-(sinθ)^2)}dθ　と変形して、t=sinθと置いて、置換積分をしたら、 1/2*log{(t+1)/(t-1)} になりました。 しかし、変数をtからxにできないで困っています。 どうか、アドバイスをお願いします。

「２/（ｘ^2-１）=ａ/（ｘ-１）+ｂ/（ｘ＋１）の両辺が分数式として等しくなるような定数ａ，ｂの値を求めよ」という問題で与式の分数式の分母を０としない値（ｘ≠１、－１）の元で両辺にｘ^2-１をかけると ２=ａ（ｘ＋１）+ｂ（ｘ-１） ここでなぜｘ=１、－１を代入して定数ａ，ｂをもとめてよいのですか？「分数式の分母を０としない値（ｘ≠１、－１）の元で」という条件がついているのでｘ=１、－１は代入できないのではないのでしょうか？ この部分が少し納得できません。どなたかお願いします。

3.141592・・・と円周率がありますが、円周率ってどういう式をたてて計算すればあんなものが出てくるんでしょうか？ それともここでは回答できないような相当複雑で難しい式なのですか？

漸化式の書き方はよく分からないんですけど、数列の第3項はA_3のように書きたいと思います。 数列A_nがA_1=3,A_n＋1=2A_n－nで定義されるとき、一般項A_nを求めよ。 上のような問題でA_n＋1=2A_n－nを変形すると、A_n＋1－(n＋2)=2(A_n－(n＋1))と変形できると解答にあるのですが、 右辺の(n＋1)って何ですか？また、これの導き方を教えていただきたいです。