[高校数学III] lim[n->∞]√(1/n)=0の証明

質問

lim[n->∞]1/n=0
を自明のものとして、
lim[n->∞]√(1/n)=0
を高校数学の範囲で証明することはできるのでしょうか？
参考書には「lim[n->∞]1/n=0より論理的に導出できるが、高校範囲ではこれを正しいものとして納得するだけで十分」と書いてあり、証明は載っていませんでした。
高校数学の範囲で証明できなければ、数直線なり座標平面なりを用いて０に近づいていく様子を直観的に把握するしかないのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＞高校数学の範囲で証明することはできるのでしょうか？

できません．そもそも高校の範囲では
極限の厳密な定義はなされていません．
1/nのケースを前提としたとしても
今度は f(x)=x^{1/2}の連続性を示す必要がありますが，
連続であることの定義は極限を用いるので，
極限がきちんと定義されていない高校数学の範囲では
やはり証明できません．
f(x)=x^{1/2}が連続であることまで仮定して
やっと高校の範囲に入り込みます．

＞座標平面なりを用いて０に近づいていく様子を直観的に把握するしかないのでしょうか？

そういうことです．
＃なお，関数が連続であることの直観的な描像は
＃グラフがつながっていることですが，
＃これは中間値の定理の帰結だったりします．

お礼

よく分かりました。
有難うございました。