C[t,1/t]って体でしょうか？

質問

代数多様体について勉強しているんですが。そのなかで

C[x,y]/(xy-1)　（但しCは複素数体）

について考える問題があるんですけど

(xy-1)ってC[x,y]で極大イデアルでしょうか？

そうだとすると
C[x,y]/(xy-1)　と　C[t,1/t]　は同型だから

C[t,1/t]は体ということになりますよね。
でも、０でない任意の元の逆元をC[t,1/t]の元のカタチにうまく変形することができません。
どうすれば、うまくいくでしょうか？

もしかしたら、(xy-1)ってC[x,y]で極大イデアルじゃないんでしょうか？
(xy-1)ってC[x,y]で分解できるんでしょうか？

簡単なことだとおもうのですが、だんだんわけがわからなくなってきてしまいました。どなたかお暇な方教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

(x+1,y+1)を考えます。(x+1)(y+1)-(x+1)-(y+1)=xy-1ですので、(x+1,y+1)⊃(xy-1)です。左の集合の方が大きいのは自明です。したがって極大イデアルではありません。

そもそも既約ならそれ以上分解はできないですが、それでも無理やり因数分解を考えたらどうなるか？というのが理想数の発見であり、イデアルの誕生でした。体上の1変数多項式環だともう少し状況はやさしいでしょうが、多変数多項式環の極大判定は難しいです。

なおC[t,1/t]は体ではない整域ですから、したがって(xy-1)は極大でない素イデアルであると結論することもできますが、bluemoon1120さんの疑問は(xy-1)がなぜ極大でないのか、ということだったので、こういう抽象的な方法だと納得しにくいかも知れませんね。

お礼

ありがとうございます。xy-1=0の零点って平面上で曲線をあらわしているんだから、一点をあらわすイデアルに含まれないといけないですよね。
変に考えすぎてわけが分からなくなっていました。これを使ってなんとか問題を解くことができました。
ありがとうございます

回答No.1

ringohatimitu

C[t,1/t] は体ではないですね。例えば1-tの逆元がa_(-n) t^(-n) + .... + a_(-1) t^(-1) + a_0 + a_1 t^1 + ... + a_m t^m で表わされたとするとa_0以外全部０でなければならず矛盾します。ちなみに形式的無限級数環C(t)={Σ_{n≧M} a_n t^n : M　整数}は体になります。

お礼

ありがとうございます。
やっぱり体じゃないですよね。
無理矢理逆元を変形しようとしても意味のないことだったんですね。
これをつかって問題を解くことができました。ありがとうございます。