円と外接多角形の周の長さ

質問

円周＜外接多角形の周の長さ　の証明をやろうと思ったんですが、できません。

円周率を使わずに証明できますか？

回答No.7

yaksa

＞そうかなあ、＃５も結局＃４と同じだと思いますけど。
もちろん、結局ユークリッド幾何の公理だけから証明できる「定理」なんで、見た瞬間に証明が思いつく人なら「明らか」なのかもしれませんが。

＞「引っ張る」というのが、全体の形が常に凸になるような～
これが明らかでないと言っているわけです。

＞少なくとも、１辺を共有する３角形で小さい３角形が大きい３角形に含まれる時～
これは２つの三角形の共有しない頂点の間に線を引けば簡単に言えます（３角形の２辺＜１辺）。これが明らかなことは同意します。これを証明するのに正弦定理を使うのはおそらく循環論理だと思いますが。

けれども、円周と外接多角形の周の長さの関係は、この事実とは全く関係ないです。円をどんなに拡大しても曲線のままでけっして直線にはならないので、上のような線分同士の長さの比較の話は使えません。

曲線の長さは折れ線の長さの上限で定義されています。あくまで最大値ではなく上限なので、曲線の長さを実現する折れ線は存在しない場合もあります。実際、円の場合はありません。

回答No.6

BLUEPIXY

>＞それより横に引っ張られている形がより長い距離になるのは明らかです。
>明らかではないですよね。
そうかなあ、＃５も結局＃４と同じだと思いますけど。
「引っ張る」というのが、全体の形が常に凸になるような変形と見た時、円周云々はさておき、より引っ張られている方の道程の方が長くなるのは明らかですよね。
円周というのは、いわば全体に均等に引っ張っているともいえますから同じことだと思います。
少なくとも、１辺を共有する３角形で小さい３角形が大きい３角形に含まれる時（頂点がより引っ張られていると考えても良いと思いますが）大きい３角形の２辺の方が小さい３角形の２辺の長さより長くなるのは（正弦定理からも）明らかですよね？
明らかでない（＃４の場合の）という論理の抜けをちゃんと（明らかだ、明らかでないと言っていても始まらないので）指摘して下さると嬉しいのですが。

回答No.5

yaksa

調べてみたら、
「任意に与えられた外接多角形に対して、周の長さがより短い(別の)外接多角形が存在する」
言えそうですね。
与えられた外接多角形の隣り合う２つの接点をA,Bとしたとき、弧AB上に任意に点Cをとる。
点Cを接点とする円の接線と元の外接多角形の交点を考えると、元の外接多角形より頂点が１つ多い、外接多角形ができる。
（点Cを接点とする接線が引けることの証明は、http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII16.html ）
この新しい外接多角形の周長が、もとの外接多角形より短いことは明らか。
（三角形の１辺＜２辺）

というわけで、
　任意の外接多角形Ｐが与えられたとき、周長がより短い外接多角形Ｑを必ず取れる。
したがって、
　Ｑの周長＜Ｐの周長
また、
　円周≦Ｑの周長 （＃１さんの参考ページ＃１２）
なので、
円周＜Ｐの周長
が言えた。

＞＃３さん
＞それより横に引っ張られている形がより長い距離になるのは明らかです。
明らかではないですよね。
＃１さんの参考ページで＃２の人が反論してます。

回答No.4

BLUEPIXY

後から
＃３の説明は、かなり冗長で論点がボケているような気がしたので、もっと簡潔に説明するために補足します。
とりあえず、円と外接する多角形のことは置いといて＼(^^＼) (／^^)／
点Ａと点Ｂを結ぶゴムがあるとします。
なんの力も加わっていない時、ゴムは真っ直ぐになっています。
そこで今そのゴムを横方向に引っ張ることを考えます。
引っ張られてゴムは伸びるワケですが、その全長は、以前より長くなっているのは（極微小区間に着目してみると、三角形の１辺より２辺の和が大きいことから）明らかです。
今、ゴムが円周の形に引っ張られているとして、
それより横に引っ張られている形（どんな形でも良いが例えば円の接線２つとかつまり質問文の場合）がより長い距離になるのは明らかです。

回答No.3

BLUEPIXY

＃１の参考ＵＲＬ非常に興味深く読みました。
稚拙ながら私もちょっと考えてみました。
例えば、今私が宇宙船に乗って衛星軌道上にいるとします。
ぐるぐる回っているので、（重力によって方向を常に曲げられるので）円周上を移動しているわけですが、
仮に重力がないとした場合接線方向に移動します。
この間ｔ秒経って、おっといけないと思って、円周上に戻ったとすると、さらにｔ秒使って本来の円周上のコースに戻るわけですが、このコースを外接円のコースと見立てると、外接円のコースの距離は簡単にでますね。円周上のコースは、積分しないとでませんが、この寄り道のコースをずっと小さくしていくと考えると、寄り道の出発点と帰着点を結ぶ直線は、ずっと小さい距離にしていく場合には、段々円周上のコースに近づくことが分かります。
充分小さくすれば近似的に直線と見なしてもいいようになるでしょう。そうした場合円周上のコースの微距離は２点間を結ぶ直線で、寄り道コース（外接コース）は、小さな三角形の２辺になると見なしてよいので、（その総和である）外接コースの方が円周コースより遠回りであるということができると思います。

回答No.2

yaksa

＃１さんの参考ページ見てみました。
とりあえずユークリッド幾何では、「中心と半径を与えると円が一つ定まる」てのは公理なんで、sinとかをつかって円を定義するのは邪道だと思います。（少なくともユークリッド幾何ではない。）
「与えられた２点を結ぶ一番短い曲線は直線」てのも公理なんで、それについては問題ないですが。

で、ユークリッド幾何を使った＃１２の証明なんですが、
確かに、「円周≦外接多角形の周の長さ」の証明はできてると思うんですが、
「円周＜外接多角形の周の長さ」を証明しようとするとさらに一仕事必要な気がします。
（この証明を拡張して≦ではなくて＜にできないかといろいろ考えたんですが無理そう。）

これを言うには、
「任意に与えられた外接多角形に対して、周の長さがより短い(別の)外接多角形が存在する」
ことを言えば十分だと思うんですが、これを言うには、
「円の接線と直径のなす角が直角」てのが必要なような。もっとゆるくして、
「円周上に１点を決めると、その点を接点とする円の接線がただ１本定まる。」
でもよさそうかな。これってどうやって証明するんでしょうか。。

回答No.1

ryn

過去ログに詳しい議論がありました．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=53355