アルキメデスが円周率を計算したやり方は？

質問

Blue Backs「パソコンで挑む円周率」で教えられたのですが、世界で最初に円周率を計算により求めたのはアルキメデスとのことです。彼は円に内接・外接する正９６角形の周の長さから円周率の近似値を計算し、３．１４までは正確に求めたとのことです。

大変ためになる情報ですが、残念ながら私には正９６角形の周の長さを求めるやり方が分かりません。アルキメデスは三角関数を知っていたのですか？
三角関数を知っているとしても、それを計算できたのでしょうか。

たぶん簡単なやり方があるのでしょうが、どなたか親切な方、教えてください。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

＃２fushigichanです。お返事ありがとうございます。

＞正１２角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正２４角形は15°ではxは何になるのですか。

角ＡＯＣ＝３０度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。

もう一度、正１２角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線（ここでは、線分ＯＭ＝ＯＣ）は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
ＡＭ＝ＢＭ
また、
ＡＢ⊥ＯＭ＝ＯＣですね。
ここで、三角形ＡＯＭと三角形ＣＡＭでそれぞれ
ピタゴラスの定理を使います。

三角形ＡＯＭにおいて、
ＡＭ＝1/2ＡＢ＝1/2←この時点で、もうxは求まっています。
あとは、ＭＣ＝ｙとおいたので、
OA^2=AM^2+OM^2
1=(1/2)^2+(1-y)^2
これを解けば、yが求まります。

次に、三角形ＣＡＭにおいて、同様にピタゴラスの定理より
CA^2=AM^2+CM^2
a^2=(1/2)^2+y^2
ここに、先程求めたyの値を代入してやれば、aの値も求まります。

これによって、12a=内接正１２角形の周囲
と求められます。

これをさらに２等分、２等分・・としていくと
同様に正多角形の周囲が求められていくと思います。

ちょっとやってみます。
先程の１２角形の１２分の１の三角形は、三角形ＯＡＣでした
便宜上、ＡＣ＝aのままとします。
角ＡＯＣの二等分線は、線分ＡＣと直交し、二等分するので
線分ＡＣの中点をＮとします。
ＯＮの延長線と円の交点をＤとします。
今度は、AD=bとおいて、bの値を求めれば
これは正２４角形なので、２４ｂ＝正２４角形の周囲、となりますね。

OA=OC=1
AC=aより、AN=a/2
ND=xとおくと、
三角形ＡＯＮにおいて、
1^2=(a/2)^2+(1-x)^2・・・（１）
三角形ＤＡＮにおいて、
b^2=(a/2)^2+x^2・・・（２）

まず、（１）の式から、xが求められますね。
そのxの値を（２）に代入することで、bも求められます。
ここでaというのは、先程求めた正１２角形のＡＣの長さです。

このように、順番に、二つの三角形の
ピタゴラスの定理だけで、長さを確定していくことができます。
これを繰り返してアルキメデスは正９６角形までを計算したんですね。

ご参考になればうれしいです。

お礼

fishigichanさん、こんにちは。

すごくよく分かりました。なるほど、そういう手順があるのですね。

それにしても、すごく面倒な計算になりますね。計算できることは判りましたが、実際に計算するには根気が必要ですね。正２４角形まではやってみましたが、その先はあきらめました。これではアルキメデスにはなれませんね。
（＾＾；；
あらためてアルキメデスの偉大さを思い知らされました。

大変ありがとうございました。

回答No.2

fushigichan

goal314さん、こんばんは。
大変面白い話題でしたので、調べてみました。

アルキメデスは紀元前の人なので、三角関数は用いなかったと思います。
参考URLによると、最初は円に内接する正六角形を作図し、
また、外接する正六角形とのそれぞれの外周から円周率の範囲を考えたようです。

例えば、半径１の円周は２Πですが、
内接正六角形の外周は、６
外接正六角形の外周は、４√３
これより、
６＜２Π＜４√３
３＜Π＜２√３

のようにして、まずΠの範囲を大体考えたようです。
それから、六角形を１２角形にすることで、さらに精度を上げていったと思われます。

例えば、最初の正六角形の６つの正三角形を、三角形ＯＡＢとします（原点Ｏ）
すると、１２角形にするには、ＡＢの中点Ｍを通って
Ｏから円周上に点Ｃを取れば
ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１
ＡＢ⊥ＯＣとなるので、
ＡＣ＝ＢＣ＝a,
ＡＭ＝ＢＭ＝x
ＭＣ＝yとすると、
三平方の定理より
1^2=x^2+(1-y)^2
a^2=x^2+y^2
ここで、角ＡＯＣ＝３０°であるからx=1/2
(1-y)^2=1-(1/2)^2=3/4
1-y>0より、1-y=√3/2
y=1-√3/2
a^2=x^2+y^2=(1/2)^2+(1-√3/2)^2=1/4+1-√3+3/4
=2-√3
a>0より、a=√(2-√3))
したがって、正１２角形の外周は
12a=12√(2-√3))

のようにして求めていったのではないかな、と思います。
アルキメデスって、すごい頭いいですね！
こんなことを発見するなんて、天才だと思いました。

参考URL：

http://www1.fctv.ne.jp/~ken-yao/Paipai.htm,http://www.aist-nara.ac.jp/~ue-toshi/mathematics.html

補足

fushigichanさん、こんにちは。

分かりやすく教えていただき、ありがとうございます。

ただ、どうも私の理解力が足りないようで、もう少し教えていただきたいのです。

正１２角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正２４角形は15°ではxは何になるのですか。

正４８角形は7.5°でxは？？？ということなのです。私は電卓の三角関数を使う方法しか知りませんので、この先の計算が出来ないのです。

そのあたりの点をもう少し教えていただけないでしょうか。

回答No.1

really

つぎのURLが参考になれば幸いです。

http://www1.fctv.ne.jp/~ken-yao/Paipai.htm
http://www.cybernet.co.jp/maple/hiroba/PI/PI.html

参考URL：

http://www.cybernet.co.jp/maple/hiroba/PI/PI.html

お礼

reallyさん、こんにちは。

大変参考になるＨＰをご紹介下さり、ありがとうございました。さすがネット上にはいろいろ有益なサイトがあるのですね。

今後もいろいろ教えてください。