レムニスケート周率とは？

質問

レムニスケート周率とは何ですか？　円周率のようなものだということを聞いたことがありますが、本当でしょうか？　文系用高校数学程度の知識しかない者向けに、しかし、それなりに詳しくお教えいただければありがたいです。勝手をいいますが、よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#108554 · ベストアンサー

数学セミナー増刊「数学・物理100の方程式」の
「レムニスケートの方程式」の項によると、
ヤコブ・ベルヌーイ・・・レムニスケートが出現する直接のきっかけ
ライプニッツ、ヤコブ、ヨハン・ベルヌーイ、カッシニを経て、
レムニスケートの弧長の計算についての決定的な前進は、
ファニャーノによって発表されたそうです。

なので、おそらくレムニスケート周率もその過程で発見されたでしょう。
ファニャーノは「レムニスケートの等分問題」への第一歩も踏み出したそうですし。

お礼

ibm_111さん、わざわざ、調査の上、再々度のご回答ありがとうございます。覚えていてくださって、感激です。よくわかりました。どうも、必ずしもオイラーは関係ないみたいですね。再度、お礼申し上げます。

回答No.3

noname#108554

http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html
によると、
π^(-1/4)Γ(1/4)
が超越数と言うことで、レムニスケート周率も超越数になります。

お礼

ibm_111さん、さらに、ご回答ありがとうございます。こちらこそ、お礼が遅れてすみません。かなりご回答をいただいたので、残るは、レムニスケート周率にかかわる数学者の名前のみとなりました。他の方からのご回答をお待ちすることにします。
ちなみに、私が、「レムニスケート周率」という言葉を見たのは、何かの書籍だと思うのですが、どの本であったのかすっかり忘れてしまいました。いずれにしろ初心者向けの数学関係書であることは間違いないのでしょうが、その本で、レムニスケート周率を示す記号（ギリシャ文字のオメガ（ω）の異字体。上に1本横棒を入れたもの）も見たはずです。でも、やはり思い出せません。

回答No.2

noname#108554

捕捉要求がきていたんですね。
最近ログインしてなかったので、全然気がつきませんでした。

とはいうものの、答えられることはあまりなくて、
1.分かりません。
2.私が知る限り何かに応用されていると言うことはありません。
もっとも、レムニスケートの裏にひろがる数学の世界が
やたら広大です。
楕円積分論とか楕円関数論と呼ばれています。
ここまで広げれば数学の外への応用はたくさんあるでしょう。
3.分かりません。確か、Γ(1/4)は超越数ですが、
レムニスケート周率=2^(-3/2)π^(-1/2)Γ^2(1/4)
はどうでしょう。
おそらく超越数だとは思いますけど。

回答No.1

noname#108554

回答ないようなので書き込みますが、
専門家でもなんでもないので、証明などは知りません。

まず、レムニスケートはこれ↓
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/image/cfn01.html
つまり、「２点からの距離の積が一定値であるような点の軌跡」です。

レムニスケート周率というのは、
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/bell.htm
「ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx＝1/2Ｂ(1/4,1/2)
　　　　＝2^(-3/2)π^(-1/2)Γ^2(1/4)=2.62205・・・
とおくことにしましょう．これはレムニスケート積分と呼ばれるものですが，2ωがレムニスケートの全長です．すなわち，レムニスケート積分は周期2ωをもつことがわかります．円に類比すると，レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じていることになります．
　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159・・・（円周率）
　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205・・・（レムニスケート周率）」

要するに、円周率は円周と直径の比であるのと同様、
レムニスケート周率は、レムニスケート周と
「直径」(この直径は何を意味するのかはちゃんと決めないといけないが、
直感的にはレムニスケートの大きさ)
の比になっているということです。

レムニスケートには円と共通する性質があるらしいです。

補足

ibm_111さん、ご回答ありがとうございます。大変勉強になります。（なお、「証明」に該当するような部分は、理解できないと思いますので、個人的には、不要です。）
ところで、お分かりであれば、追加で3点お教えください。文系的な興味で恐縮ですが。
1. レムニスケート周率を見つけた（？　主張し始めた？）数学者や研究した主要な数学者は、誰なのでしょうか？　お教えいただいたWebページからすると、少なくとも、言い始めたのは、かのオイラーのようにも思えますが。
2. レムニスケート周率は、何に役立つのでしょうか？　むしろ、「レムニスケートは、」と言い替えた方がいいのかもしれません。別に、「数学的な研究対象にはなるが、現実にはあまり応用されていない」、というご回答でも結構です。それで、レムニスケート周率の価値が下がるとか、そういう考え方をしているわけでもありません。
3. レムニスケート周率は、おそらく、無理数であることは間違いないのでしょうが、πと同様に超越数なのでしょうか？　それとも、証明はなされていないのでしょうか？
以上、よろしくお願いいたします。