不定積分∮(x-2)(x+1)^2dx

質問

∮(x-2)(x+1)^2dxの解き方を教えてください

答えは(x+1)^4/4-(x+1)^3+cとなってます

回答No.4

ki-inage

∫(x-2)(x+1)²dx
=1/3(x+1)³(x-2)-1/3∫(x+1)³dx
=1/3(x+1)³(x-2)-1/12(x+1)⁴+c cは積分定数。
答えが違いますね。
私のは微分すると確かに(x-2)(x+1)²になります。

回答No.3

ki-inage

∫(x-2)(x+1)²dxの解き方を教えてください
=1/3(x+1)³(x－２)-1/3∫(x+1)³dx
=1/3(x+1)³(x-2)-1/12(x+1)⁴+c cは積分定数。

回答No.2

Key_A

教科書読め。
置換積分が理解できなければ、普通に展開しろ、ここでカンニングするな、愚か者。

回答No.1

info222_

>∮(x-2)(x+1)^2dxの解き方を教えてください
「∮」は「周回積分や閉路積分」で使う特殊な積分で使う専用の積分記号です。
不定積分を含む一般の積分の記号としては「∫」を使わないといけません。

I=∫ (x-2)(x+1)^2 dx
=∫ (x+1-3)(x+1)^2 dx
=∫{(x+1)^3-3(x+1)^2} dx
=(x+1)^4/4-(x+1)^3+C ... (答)

>答えは(x+1)^4/4-(x+1)^3+cとなってます
この答えと一致します。

しかし、不定積分の答えには、任意定数Ｃ（積分定数）が加えられているように
積分結果からＣを除いた式（原始関数）は定数分の差があっても答えとしては正解になります。

なので次の別解でも正解です。
[別解]
I=∫ (x-2)(x+1)^2 dx
=∫ {x(x+1)^2-2(x+1)^2}dx
=∫ {(x^3+2x^2+x)-2(x^2+2x+1)}dx
=∫ (x^3-3x-2)dx
=x^4/4-3x^2/2-2x+C ... (答2)

>答えは(x+1)^4/4-(x+1)^3+cとなってます
この答えの括弧を展開すると
=x^4/4+x^3+3x^2/2+x+1/4-(x^3+3x^2+3x+1)+c
=x^4/4-3x^2/2-2x-3/4+c
=x^4/4-3x^2/2-2x+C ... (答3)
(C=-3/4+cとおけば(答2)と(答3)は同じになるので(答2)も正解といえます。）