不定積分は途中経過によって結果が変わりますか？

質問

(1)x/(2x+3)^2
(2)(tan x)^3
を積分せよ．という問題で，解答と自分の答えがありません．

(1)=x*{-1/2(2x+3)}'より部分積分の方法を用いて -x/{2(2x+3)}+log|2x+3|/4+C と出しました．
しかし，問題集の解答(2x+3=tとする方法)には {log|2x+3|+3/(2x+3)}/4+C とありました．

(2)=(sin x)^2*{1/2(cos x)^2}'より部分積分を用いて {(tan x)^2}/2+log|cos x|+C と出しました
しかし，問題集の解答((sin x)^2=1-(cos x)^2とする方法)には log|cos x|+1/{2(cos x)^2}+Cとありました．

どちらの問題のどちらの答えも微分すると(1)，(2)に戻るのですが，どちらも正解ですか？

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

どちらも見かけの形が異なるだけで　正解です。

(1)　質問者さんの方法で積分すると -x/{2(2x+3)} という項が出てきていますが、分子の -x を分母の 2x+3 で割る（多項式のわり算）と
　　-x/{2(2x+3)}
=(-1/2)*x/(2x+3)
=(-1/2){(1/2)(2x+3)-3/2)}/(2x+3)
=(-1/2){1/2 -(3/2)/(2x+3)}
=-1/4+3/{4(2x+3)}
→+3/{4(2x+3)}　　　　← -1/4 は積分定数Cに吸収させて省略。
となって一致しますよ。

(2)　質問者さんの方法で積分すると {(tan x)^2}/2 という項が出てきますが、ここで公式 tan(x)^2+1=1/cos(x)^2　を使うと、
　　{(tan x)^2}/2
={1/cos(x)^2-1}/2
=1/{2cos(x)^2}-1/2
=1/{2cos(x)^2}　　　　　← -1/2 は積分定数Cに吸収
となって、これも一致します。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

ありがとうございます．
式を変形させて定数は積分定数をCに吸収させれば形とが同じになるのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

Willyt

１番は貴方の計算が正しいですね。２番の貴方の運算は２乘と３乘を取り違えていませんか？

お礼

ありがとうございます．
もう一度してみたのですがやはり質問どおりになってしまいます．
これからもよろしくお願いします．