位相と積分

質問

ルベーグ積分によって、積分は位相的概念から離れ、抽象空間上で積分論を展開することが可能になったと言われています。しかし位相の定義されていない空間上で積分が考察されるような実例はあるのでしょうか。

回答No.2

SIRAKI

ルベーグ積分の定義は、台集合の方は
一般的にσ加法族ですが、可測関数については
実数値をとるものを基本的に扱っていることから
実数の位相にどうしても関わってしまうような気がします。
また、可測関数自体の定義から実数の位相と台集合は対応したものになっています。

ただ、離散的な確率変数などの場合は、期待値の計算を広い意味で積分と捉えると台集合に位相があるとは思えないものがあります。例えば、サイコロの目の数とか各人のテストの点数を考える場合とか

お礼

ご回答ありがとうございます。離散的な確率変数の場合は離散位相をとれば位相は定義できるのではないでしょうか。もっと抽象的な積分は考えられないでしょうか。

回答No.1

futaroh_doevery

極限という概念の一般化が位相の言葉で表現できるので、どうも質問がかみ合っていないような気がします。

位相が定義されていなければ、極限が決まらないので、積分という概念が定義できないのではないでしょうか？

お礼

御回答ありがとうございます。集合代数的な性質のみで可測集合を定義し、その上で抽象的な積分論を作ることができることが知られています。可測空間に位相が定義されている必要はありません。