位相と書いてある本とトポロジーと書いてある本の違いって?

質問

位相の事をトポロジーと英語で言うと思います。
書店で位相(空間論)と書いてある参考書とトポロジーと書いてある参考書は何だかだいぶ中身が違うと思います。

双方ともどのような位置付けなのでしょうか?

前者の方が後者より易しい気がします。
最初は位相空間論と書いてある参考書で勉強して終ったらトポロジーと書いてある参考書を勉強するという順序がいいのでしょうか?

回答No.6

kup3kup3

#4です。またまた、訂正です。
ANo.4の(1)で次のところがあります。
>このとき
「Mがcompactかつハウスドルフ，Nがハウスドルフ⇒　全単射な連続写像g:M→Nは位相同型写像となる」
というものです。

これは、Mに条件が多すぎました。
「Mがcompact，Nがハウスドルフ⇒　全単射な連続写像g:M→Nは位相同型写像となる」
というものです。

に訂正してください。
Mのclosed　subset Aをとる。Mはcompactだからclosed　subset Aは
compactとなる。よってその連続像f(A)もcompact。
Nはハウスドルフだからハウスドルフ空間のcompact　subset　f(A)はclosedとなる。
よって　f:M→Nは閉写像となるから、です。

回答No.5

kup3kup3

こんばんは。#4です。とりあえず訂正です。
ANo.4の回答で(3)の「代数的位相幾何学」のところで、

>なお、「位相空間Xが『単連結』⇔π_1(X)=0」と定義する。」
は誤りでした。次のように訂正します。

「位相空間Xが『単連結』⇔　Xは弧状連結かつ、π_1(X)=0」と定義する。

したがって(4)の最後の
>元々の「ポアンカレ予想」とは
「3次元の閉じた位相多様体Mが　π_1(M)=0つまり単連結　⇒　Mは3次元球面　S^3と位相同型であろう」

というのは、
元々の「ポアンカレ予想」とは
「3次元の閉じた位相多様体Mが弧状連結　かつ π_1(M)=0，つまり単連結　⇒　Mは3次元球面　S^3と位相同型であろう」
と訂正します。

◎なお　閉じた位相多様体の「閉じた」ということの意味はつぎの
通りです。
つまり、「閉じた位相多様体」とは「境界がない多様体で、しかもコンパクトなもの」という意味です。これが「閉じた」という意味です。
英語では「closed」と言ってしまいます。

また　トポロジーの勉強方法ですが、
まず(1)の「一般位相」の本をしっかりマスターする。
この本としては　私は
岩波書店　松坂和夫著「集合・位相入門」を読みました。これを読んで
殆ど完全に「位相空間論」の基礎が身についたと思っております。
#３さんがおっしゃっておられる廣川書店　竹之内脩著「トポロジー」
はどんな本か読んでいませんので分かりません。

さて、「位相空間論」が大体身についたら、「代数的位相幾何学」の
「複体」から始まり、ホモロジー群と「2次元の閉曲面の分類」を書いてある本に進むようにするとよいでしょう。
Mobius(メービウス）の帯やKlein（クライン)の壷や射影平面などは、「裏表のない」2次曲面です。「裏表のない」ことを「向き付け不可能」ともいいます。
◎「代数的位相幾何学」関係では次の本があります。
(ア)裳華房　加糖十吉　著　「数学シリーズ　位相幾何学」は
ホモロジーや二次閉曲面の分類、コホモロジー、基本群などが
書かれています。全部理解しようとはしないで難しいところは
証明が分からなくてもそのまま受け入れて読むことが大事です。
もう一つは
(イ)岩波書店　松本幸夫　著「トポロジー入門」です。これは第3章までは「一般位相」
第４章から　「基本群」について図入りで丁寧にかかれており、
最後は「基本群でのファン・カンペンの定理」、「被覆空間」などとすすみます。「ホモロジー群」については一切書かれていません。

(4)「微分位相幾何学」については、微分幾何学（Differential Geometry）の本を少し読む必要があります。
まず
(ウ))朝倉書店　中岡稔「位相数学入門」や
(エ）東京大学出版会　松本幸夫著「多様体の基礎」
などがあります。
古い本ですが、「微分幾何」の本では
(オ)共立出版　村上信吾著「多様体」（残念なことに絶版）と
(カ)裳華房　松島与三「多様体入門」がいいと思います。
後者の難しいところは前者を読みながら進むとよいと思います。

回答No.4

kup3kup3

こんばんは。
トポロジーというと、2種類の解釈があります。#3さんがおっしゃっておられるように、一つは
いわゆる大学１・２年生で習う　(ア)Genearl　Topology（一般位相)だけをさす場合です。そして、
図形的なものに重点がおかれたものは、(イ)日本語で「位相幾何学」と呼ばれます。
もう一つは(ア)(イ)を統合した広い意味でのトポロジーというものをさす考えかたです。
後者の捉え方ですが英語だと次のようになります。
　トポロジー(Topology)には大きく分けて次のものがあります。説明しますが、私には分からないことが
一杯ありますので質問をしないでくださいね。特に下の方の「ポアンカレ予想」など。

(1)Genearl　Topology　（一般位相数学)　
　距離空間を一般化した位相空間で、開集合、閉集合、連続性、連結性、コンパクト(compact)性、
分離公理などを調べる。また距離空間の完備性,ノルム空間なども入る。これらは数学のどの分野でも
よく使用します。例えばM，Nを位相空間、f:M　→Nを連続写像とする。そのとき、
「Mの部分集合Aがcompact　⇒f(A)はcompact　」,「Mの部分集合Aが連結⇒f(A)は連結」。
また、分離公理では「ハウスドルフ空間」が有名で、例えば、次の定理が成立します。
しばしば、全単射な連続写像gの場合、逆写像g^(-1)の連続性を調べることが重要になります。
このとき
「Mがcompactかつハウスドルフ，Nがハウスドルフ⇒　全単射な連続写像g:M→Nは位相同型写像となる」
というものです。このように普通の微積分で扱うユークリッド空間を抽象化して
調べておけば、個々の場合にいちいち考えなくてもよくなります。
この他にさらに位相空間の細かい性質を定義し調べてゆく分野です。

(2)Combinatorial　Topology　(組合せ位相幾何学)
　多面体や図形を単体分割や胞体分割などして「複体」を定義し、多様体、ホモロジー論、コホモロジー論、
ホモトピー論などを展開し、図形を頭の中で切ったり貼ったり、ハンドル（把手）を付けたりする
surjery（手術理論）、2次閉曲面の分類などを始め、高次元の図形などpiece-wize　な連続性で
議論できる分野。

(3)Algebraic Topology　（代数的位相幾何学）
　Poincare（ポアンカレ）が創始した「基本群　π_1(X)」や
ホモロジー群「H_n(X)」や「相対ホモロジー群　H_n(X,A)」
コホモロジ-環「H^*(X,A)」,高次元ホモトピー群　π_n(X、A)(n≧2）、
ファイバーバンドルの理論,スペクトラル・シ-クエンス、特性類(オイラー類
など）などを用いて、多様体や境界付き多様体、図形のいろいろな
性質をを研究する分野。
　さて、Zを(加法群として)「整数全体の作る無限巡回群」とする。
『位相空間Xの基本群　π_1(X,x1)』とは、次のように定義する。
X上の1点x1を固定する。I=[0、1]として　σがX上のループとは連続写像　σ:I→X
で、σ(0)=σ(1)=x1となるものをいう。このループの全体をΩ(X,x1）とかく。
τをもう一つのループとする。この道の空間Ω(X,x1）には「積」が定義できる。
σとτの積　σ・τを　
0≦s≦1/2のとき、σ・τ(s)＝σ(2s)　,(1/2≦s≦1)のときσ・τ(s)=τ(2s-1)
と定義する。
またσ∈Ω(X,x1),τ∈Ω(X,x1)の2つのループが「ホモトープ　rel{x1}」と
いうことを定義すると（ここでは略　定義は簡単です。）、
これは同値律をみたし、Ω(X,x1）のこの関係による商集合Ω(X,x1）/～を
π_1(X,x1)とかく。これは先ほどの「積」をΩ(X,x1）/～の上に
持ってくることにより「群」となるのである。π_1(X.x1)=0とは、x1に留めた「どのような
ループもX上を離れないでスルスルとx1に連続的に縮んでしまう」ことを意味する。
○　Xが連結であれば、多様体では古弧状連結になるのでx1以外の点x2をとったとき。
π_1(X.x1)同型π_1(X.x2)となることが分かるので、単に基本群をπ_1(X)とかいてしまう。
例えば、
S^nをn次元球面とするとS^nの基本群は
◎　π_1(S^1)=Z、π_1(S^n)=0(n≧2）となる。π_1(S^2)=0は想像できるだろう。
(ピンポン玉の表面にどんなループを架けてもスルリと表面を離れずに縮んでしまう。トーラスでは
こうはいかない。2種類のループで決して縮まないものがある。)
さて、n≧１として　n次元ユークリッド空間R^nに対し
　π_1(R^n)=0，H_m(R^n)=0 (m≧１)　。またH_n(S^n)=Z (n≧１）π_n(S^n)=Z (n≧１）が
　知られている。
なお、「位相空間Xが『単連結』⇔π_1(X)=0」と定義する。
「位相空間XとYが位相同型　⇒π_1(X)とπ_1(Y)は群として同型」という定理がある。
　この対偶は「π_1(X)とπ_1(Y)は群として同型でない⇒位相空間XとYが位相同型ではない」となる。
　π_1(R^1)=0、一方π_1(S^1)=Z(整数全体の作る無限巡回群）
これから、R^1と次元球面S^1とは位相同型でないと分かる。
（S^1はコンパクト、一方R^1はそうでないからもわかる。）
同様に、球面のホモロジー群「H_*(X)」を使えば
　R^n-{0}とS^(n-1)がホモトピー同値により、
「k≠m　⇒　R^kとR^mが位相同型でない」ことが証明される。
このように、直接扱いにくい図形の性質を代数学的なものを計算することにより
　調べる分野。
またルネ・トムの創始したボルディズム、コボルディズムの理論などもある。
上記の「ホモトピー、　ホモロジー、コホモロジ－」は一般化・整理されて
「ホモロジー代数」の理論ができている。また、Atiyah(アティアー)による
「K-thery」（Kー理論）は、Atiyah－Singer(アティヤー・シンガー）の
「指数定理」の証明に重要な役割を果たし、解析的なものと位相的なものが結び付けられた。

(4)Differential Topology　（微分位相幾何学）
　上の代数的な道具の他に微分も道具として扱い、主に微分可能多様体などを研究する分野。
Whiteny(ホイットニー）による多様体の埋め込みの理論、Mirnor(ミルナー）による
S^7球面でのエキゾチック微分構造の存在や、1960年の「スメールによるn≧5での
ポアンカレ予想の解決」は有名である。その他にMorse（モース）理論、
位相群の研究や「葉層構造」(folliation）の理論などもある。つい最近2006年までに元々の「ポアンカレ予想」がペレルマンにより完全に解決された」
◎　ひとこと,「n次元でのポアンカレ予想」とはつぎのようなものである。
★「n次元球面S^nと同じホモロジー群をもつ『単連結』な閉じた位相多様体Mは、　n次元球面S^nと位相同型であろう」というものである。。
「n=4の場合のポアンカレ予想」は、1981年にアメリカ人のフリードマンが副産物として解決したそうである。
元々の「ポアンカレ予想」とは
「3次元の閉じた位相多様体Mが　π_1(M)=0つまり単連結　⇒　Mは3次元球面　S^3と位相同型であろう」
というものであった。

回答No.3

HANANOKEIJ

集合論の本と位相空間の本が、１冊になった岩波書店「集合・位相入門」松坂和夫著、と廣川書店「トポロジー」竹之内脩著、が位相空間論の教科書としては有名です。
大学の数学科、数理科学科の１，２年で、集合論と位相空間論の講義があります。
共立出版新しい数学へのアプローチ「トポロジー」中村勝彦著、位相幾何学と位相空間の説明があった記憶があります。
野口広さんの「トポロジー」は、位相幾何学の本だった記憶があります。
大学の講義で学ぶのではないのですね。微分積分(解析)の基礎に、実数の性質(位相的な性質)を学ぶことがあります。集合論と位相空間論を勉強すると思います。位相幾何学は、よくわかりません。
「はじめよう位相空間」大田春外著、日本評論社、をおすすめします。
朝倉書店「数学３０講シリーズ」のなかの「集合への３０講」「位相への３０講」もおすすめです。志賀浩二さんの本です。
「はじめよう位相空間」の本には、「位相空間質問箱」のアドレスがのっています。著者の経歴を書いてある、本の最後のページです。私は、この本の正誤表を入手しました。
「位相幾何学」の情報がなくて、すみませんでした。

参考URL：

http://www.ipc.shizuoka.ac.jp/~echohta/top.html

回答No.2

noname#221368

位相と書いてある本　　　：一般位相論の本？
　トポロジーと書いてある本：位相幾何学あたりの本？

と想像しました。
　一般位相論では、連続性とか極限とか、収束の定義とか、解析学一般に関わる基礎部分をやると思います。どちらかと言うと、幾何学色は皆無です。
　位相幾何学では、一般位相を前提とした上で、もっと幾何学色の強いアイデアを取り込んで（一般位相には出てこないものです）、単連結領域とは何かとか、いわゆる図形イメージを扱います。もちろん連結という概念は一般位相にも出てきますが、それだけでは幾何学とは言えないと思います。「一般位相を前提とした上で」とは、そういう意味です。

回答No.1

koko_u_

同じです。
たまたまあなたの読んだ「位相空間論」が難しかったのでしょう。