二次関数の場合分けの方法

質問

関数f(x)で
f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+2aで
y=┃f(x)┃【絶対値f(x)の意】の0≦ｘ≦1における最小値を求める問題なのですが解等を見ると6つに場合分けしてありました。
解答しか載っていなくて困っています。。。
解法などを詳しくヨロシクお願いしますｘ＿ｘ

回答No.2

s_yoshi_6 · ベストアンサー

f(x)=y=x^2-2(a+1)x+a^2+2a
は
y=(x-(a+1))^2-1　・・・(1)
と変形できるのはお分かりでしょうか。これは、座標(a+1,-1)を頂点とする下に凸の放物線です。

これが
y=│f(x)│・・・(2)
となるとｘ軸より下の部分が、x軸を対称軸にして折り返されたようなグラフになります（「Ｗ」のような形になります。グラフを書いて確認してみて下さい）。

この「Ｗ」型のグラフはｙが最大または最小となる点が３つあります。
f(ｘ)=ｙ=０を満たす２点（(1)のグラフとｘ軸の交点）で最小となり、点(a+1,1)で最大となります（ｙ=０となる時のｘの値は、(1)式＝０を解くと出てきますので、出してみて下さい）。

ここで、仮にグラフの左（ｘの小さい方）から順にＡ（最小）、Ｂ（最大）、Ｃ（最小）とすると、上の計算で出した結果が正しければＡＣ間の距離は２になるはずです。グラフは左右対称の形をしていますので、ＡＢ間はその半分の「１」になります。つまり、0≦ｘ≦1という区間の長さと同じということです。

そうなると、(2)のグラフがａの値によってｘ軸に並行に移動した場合に、与えられた区間0≦ｘ≦1で最小値が変わってくるのは、その区間が

1）Ａより左（負）側にある時
2）Ａをまたぐ時
3）Ｂをまたぐ時（Ｂより左（負）側で最小値を取る場合）
4）Ｂをまたぐ時（Ｂより右（正）側で最小値を取る場合）
5）Ｃをまたぐ時
6）Ｃより右（正）側にある時

の６つの場合ということになります。書いてみたグラフを見ながら、その違いを確認してみて下さい。

ここまでのことが分かれば、後は方程式が解けるかどうかの問題です。とりあえず、以上のことをヒントにして解いてみて下さい。

お礼

大変分かりやすくありがとうございました！！！

回答No.1

redowl

６つの場合が　全部わかりますか？
f(x)＝　y＝x^2-2(a+1)x+a^2+2a　の式をxy座標のグラフにかくと
下に　凸　の放物線になります。
この放物線が　　x軸に交わる　　x軸に接する　x軸に交わらない
の３通り　を考える
かつ
y＞０　y＜０
の２通り　を考える
この組み合わせが６通りになる。
後は、自力で解きましょう。

お礼

(1)a≧1
(2)0≦a＜1
(3)1/2≦a+1＜1
(4)0≦a+1＜1/2
(5)0≦a+2＜1
(6)a+2＜0

の6通りです。
宜しくお願いします。