複素数について

質問

複素数についての質問なんですが、複素数は有り得ない数なのでしょうか？

回答No.5

tenro · ベストアンサー

複素数は２次元面上の点に四則演算を定義したもので、実在するものと考えることができます。実数は１次元の直線上の点に四則演算を定義したもので、それを２次元に拡張したのが複素数と考えることができます。このような拡張としては４次元空間の点に四則演算を定義して４元数というのがあります（但しこの場合は積は交換せず反交換します）。その昔、自乗するとマイナスになる数をライプニッツが虚数とよび、その後にガウスがそれを実在の２次元面の点として表したわけです。虚数という言葉はその名残であり、ガウス以降は「虚」ではなくなったので余りふさわしい名前ではないと思います。虚数という言葉が勝手に解釈されてあり得ない数という印象を与えているわけです。

お礼

★ありがとうございました★

回答No.8

apple-man

ご質問の複素数なんですが、理系でも
専門分野により、理解の度合いが大きく
違うんです。

　例えば、Ｎｏ．３、Ｎｏ．５のご回答者の
方は、数学か物理を深く学ばれたことがある
のでしょう。Ｎｏ．５の方のご回答が
正解だと思います。

　Ｎｏ．２、Ｎ０．７のご回答は
高校生から理系でも工学系の
学生の方にありがちなものです。

　勉強不足というわけではないと思い
ますが、受験数学とか、大学でも
電気、機械、電子工学といった
分野では、主に虚数の代数学的な
意味を利用しているだけなんで、
実態がつかめないのだと思います。

　村上さんという優秀な研究者の方が
書かれた、「なるほど虚数」という
本あるんですが、これが工学系の
方の虚数の考え方をよく表していると
思います。虚数の幾何学的な意味を
全く説明していないんですね。

　Ｎｏ．７の方が
＞数学上の概念は数学者が勝手に頭の中で考えているだけなので、

　と言われているように、虚数も最初は
数学者の想像上の数、つまりImaginary Number
だったのですが、ガウスの複素数平面で
目に見える実態があることがはっきりした
わけです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

SortaNerd

複素数に限らず、数学上の概念は数学者が勝手に頭の中で考えているだけなので、実在するかは全く別問題です。
でもなぜか、物理学が進歩するにつれて今まで何の役にも立たなかった数学上の概念が急に必須のものになったりするのです。

で、複素数(虚数)についてですが、振動の解析でよく使われますね。

ただし実際に物理現象に虚数が現れるわけではなく、
ある値を虚数として置いておくと、答えが出る段になると自乗されて実数になっていたり、
複素数で計算した値の実数部分だけを取りだしたものが物理的な解だったり。

お礼

ありがとうございました。

回答No.6

Tacosan

少なくとも代数学の人間は「複素数は実数と同程度に実在する」と考えているはずです.

また, 「本当に実数というものは存在するのか」と考えてもいいのかも.

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

apple-man

虚数は最初、３次関数の解を表現するための
数学的なテクニックの１つだったわけです。

　２回かけて－１になるような数がある
とすると、３次関数が解なしになることが
ない。・・・ということで想像上の
数、Imaginary Numberだったわけで
そんな数が実在するとは思われていなかった。

　高校あたりの数学の教科書を見ていても
ピンとこないと思いますが、虚数を実数と
組み合わせて複素数とすると、複素数平面で
表現できるようになりますよね。これを
１９世紀におもついたのが数学者ガウスで、
複素数平面はガウス平面とも呼ばれる。

　平面、つまり複素数で表現することで
虚数が幾何学的意味という実体を持つ
ことがわかった。

　オイラーの公式
http://doraneco.pos.to/physics/column/eular.html

　というのを知っていると直感的に分かる
と思うのですが、虚数は複素数平面と
いう２次元空間上で、互いに関連した
２つの回転を同時に表現するという
性質を持っています。

　互いに依存する２つの回転？
そんなものが存在するのか？

　これが自然界にはけっこう存在して
いるんです。電流と電圧の関係、
電界と磁界の関係、電子のスピン・・・
スピノールなんていうのを調べてみると
面白いことが分かると思います。

　電流と電圧のように実際測定
できる物理量の式に虚数と実数の和、
つまり複素数が出てくることからも
分かるように、複素数はありえる数
なんです。

　結論はこうゆうことです。

　虚数は代数学的には単なる想像上の
数だが、複数数は自然界に実在する
数である。

参考URL：

http://www.kyouiku.tsukuba.ac.jp/~miya/HomePage/gauss.html

お礼

ありがとうございました♪

回答No.3

graduate_student

自然数＜整数＜実数＜複素数＜四元数
の関係があったと思います．

自然数は整数の中に含まれていて，整数は実数の中に含まれていて・・・と解釈してください．

虚数がありえない数なのではないでしょうか．

お礼

ありがとうございました☆

回答No.2

proto

まず、数というものは概念であって物質ではないので
普段の生活の中で数を目にすることはありません
数を手にとって、コレが数ですよ、と言える人は居ないでしょう

でも私たちは普段、物を数えるとき、1,2,3,...と
自然数で数えるので、自然数とはなじみが在るでしょう

負数も例えば1000円の借金を所持金-1000円と表したり
するので、探せば見つかるでしょう

1/2などの有理数だと料理の本に『大さじ1/2』みたいに書いてあるので、目にすることは在るのですが
実際、大さじに正確に1/2だけ量ることは不可能に思います
(正確に大さじ1、と整数で言われても正確に量るのは不可能かも知れませんが)

次に√2,π,eなどの無理数では
記号で表すことは出来ますが、小数で書くとどんなに大きな紙でも書ききれないので
全部を目で見ることは出来ないし、林檎がπ個あるな
なんて事も無いので余り見かけませんが
探してみれば、直径1の円の円周の長さがπ、や、一辺の長さが1の正方形の対角線の長さは√2など、人間の手で描くと誤差が出ますが、見つけることは出来ます

さて前置きが長くなりましたが、複素数については
複素数の中の実数の事について書きました、
虚数を含む複素数についてですが
自分は数学を専門に学んでいるわけでは無いので、間違っている所もあるかも知れませんが
数と言うのは複素数まで入れてやっと全部なので、数学に関して実数だけで話をしようとすると無理がある部分があります
そういう時に複素数を使って考えるのですが、複素数を使って考えても、実際に現実に結果として顔を出すのは実数の部分だけということが多いようです
物理学では物体の運動を考えるときに途中で複素数を使ったり、振動数、質量なんかを複素数で表すこともあるようです

そう考えると複素数も現実に有るように思うことも出来るかも知れません
でも、最初に書いたように数自体が現実には存在しない、頭の中だけのものと思う事も出来ると思います

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

akatsuki591

あり得ないというのは、実数でないという意味でしょうか？

複素数の中には実数が存在します。

参考URL：

http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target=http://www.crossroad.jp/mathnavi/category/fukusosuu/

お礼

ありがとうございました★