留数について

質問

次の積分を求めよ。ただし、Cはカッコ内に示した閉曲線の正の向きをもつものとする。

∫（4z3乗＋2z)/(z4乗＋z2乗＋1)dz (C:｜z｜=2)

という問題です。4z3乗というのは４×Zの三乗という意味です。書き方がわかりにくくてもうしわけないのですが、どなたかお分かりになる方、ご指導をお願いします。

回答No.7

Rossana · ベストアンサー

あっ今重大な過ちに気付いたのですが，
#1#2ですべての
e^xをe^(ix)に直して下さい！！iを入れ忘れてました。すいませんm(__)m

お礼

とき方を細かく示していただきありがとうございました。よく理解することができました、示していただいたようにやったところ解くことができました。ほんとにありがとうございました。

回答No.6

mugetu

重複ごめんなさい。
√するのをわすれてました。
4つとも|z|<2の範囲に存在しましたね^ ^;

回答No.5

mugetu

ちょっと計算してみたところ
z^4+z^2+1=0になるzは
z=(-1+3i)/2,(-1-3i)/2,(1+3i)/2,(1-3i)/2
の4つでした。この4つの点とも|z|<2の領域に存在しないのでここまでやらせておいて計算結果は0とでましたOTZ
あってますか？

お礼

答えは０であってました。ありがとうございます。
特異点の出し方がわからなくなってしまい迷ってました、自分の出した特異点と同じものになったので確認になりました、ありがとうがとうございました。

回答No.4

physicsache

補足です。
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回答No.3

physicsache

積分路は半径2の円の半円の周ですね。

分母のz^4+z^2+1≠0でないといけないことから、
特異点が求まりますね。

その特異点のうち、積分路無いにあるものだけを取り除いた経路を考えないといけません。

すると、留数定理を用いる事ができます。

回答No.2

Rossana

＞4z^3+2zにz=±e^(±π/3)を代入しても0にならない
＞ので，
ここはなんかおかしいですね．

例えば，特異点z=e^(π/3)について考察すると，
f(z)からz={z-e^(π/3)}を除いた部分，すなわち，
g(z)={z-e^(π/3)}f(z)=(4z^3+2z)/[{z+e^(π/3)}{z-e^(-π/3)}{z+e^(-π/3)}]
にz=e^(π/3)を代入すると「値なし」にならず，定数になるので，
g(z)はz=e^(π/3)のまわりでテイラー展開でき，
g(z)=a_0+a_1{z-e^(π/3)}＋a_2{z-e^(π/3)}^2＋…
となるから，
f(z)=g(z)/{z-e^(π/3)}
=a_0/{z-e^(π/3)}+a_1＋a_2{z-e^(π/3)}＋…
となり，f(z)はz=e^(π/3)に単純極を持つと言えるに訂正お願いします．

回答No.1

Rossana

☆□乗：^□と表わします．
z^4+z^2+1={z^2-e^(2π/3)}{z^2-e^(-2π/3)}
={z+e^(π/3)}{z-e^(π/3)}{z+e^(-π/3)}{z-e^(-π/3)}
と因数分解でき，
4z^3+2zにz=±e^(±π/3)を代入しても0にならないので，
f(z)=(4z^3＋2z)/(z^4＋z^2＋1)は
z=±e^(±π/3)に単純極を持っていると分かります．
したがって，
留数(residue)は
Rez[z=a]f(z)=lim[z→a](z-a)f(z)
で求まります．
a=±e^(±π/3)をそれぞれ代入して計算して下さい．
これらの特異点はすべてC:|z|=2の内部にあるので，
留数定理から
∫_C f(z) dz=2πi{Rez[z=e^(π/3)]f(z)＋Rez[z=－e^(π/3)]f(z)＋Rez[z=e^(－π/3)]f(z)＋Rez[z=－e^(－π/3)]f(z)}
で求められるはずです．
久しぶりにやってみたので，どこか間違っているかもしれません．その場合はご指摘下さい．