この複素の問題の解き方を教えてください

質問

この問題の解き方と解答を教えてください

積分路Cを()内の曲線とするとき、複素積分を計算せよ

問.　∫c(z^2/z^2-z-2)dz、(C:|z-2|=1)

よろしくお願いします

回答No.1

sunflower-san

問題は、z^2/(z^2-z-2)のCに沿った積分でしょうか？そうだとして解説します。

z^2 -z -2 = (z +1)(z -2) ですから、z^2/(z^2-z-2) はz = -1, 2 にそれぞれ1位の極をもち、それ以外の点で正則です。

いま、C は z = 2 を中心とした半径1の円ですから、内部にある z^2/(z^2 -z -2) の極は z = 2 のみです。よって、C にそった積分を J と書くと、

R = [z^2/(z^2-z-2) の z = 2 における留数]

として J = R×(2πi)

となります。

さて、z = 2 は z^2/(z^2 -z -2) の一位の極なので、

z^2/(z^2 -z -2) = R/(z -2) + (z = 2で正則な関数)

と表せます。この式の両辺に(z -2)を掛けると、

z^2/(z +1) = R + (z -2)×(z = 2で正則な関数)

となるので、ここで z = 2 とおけば

R= 4/3

が分かります。

こうして、J = 8πi/3 が計算出来ました。