差分法

質問

過去にも同様な質問があったようですが、それでも理解できないのでご教授お願いします。
拡散方程式などで
境界条件が：∂u/∂x=0　となる場合、
前進差分で表すと：(u[n][j+1]-u[n][j])/δx=0
後退差分で表すと：(u[n][j]-u[n][j-1])/δx=0
中心差分で表すと：(u[n][j+1]-u[n][j-1])/2*δx=0
となります。（n,jは時間、位置の格子点）

それぞれ整頓すると、j=0（左の境界点）では
前進差分：u[n][1]=u[n][0]
後退差分：u[n][0]=u[n][-1]
中心差分：u[n][1]=u[n][-1]
となるのですがぁ、
本などではよく中心差分を使っているのですがこの理由がよく分かりません。
上の3つの式から：u[n][-1]=u[n][0]=u[n][1]としてしまってもよいのでしょうか？
以上2点と何かアドバイスお願いします。

回答No.1

gootara01 · ベストアンサー

この場合差分式はそれぞれ異なった微分の近似式です。つまり、３種類の近時方法があるということです。したがって、３つの差分式を連立してu[n][-1]=u[n][0]=u[n][1]という結果を導くことに意味がありません。

中心差分がよく使われる理由は、精度が高いからです。感覚的には中心付近を真値に合わせようとする方法ととらえてください。

補足

ご回答ありがとうございます。
なんとなく理解できましたが、少しだけ確認させてください。

例えば拡散方程式：∂u/∂t=∂^2u/∂x^2
を両端で境界条件を：∂u/∂x=0 とすると、
差分方程式は：u[n+1][j]=u[n][j]+(δt/δx^2)*(u[n][j+1]-2*u[n][j]+u[n][j-1])
となります。両端ではそれぞれ（右端の点をxpとして）
左端：u[n+1][0]=u[n][0]+(δt/δx^2)*(u[n][1]-2*u[n][0]+u[n][-1])
右端：u[n+1][xp]=u[n][xp]+(δt/δx^2)*(u[n][xp+1]-2*u[n][xp]+u[n][xp-1])
となります。
u[n][-1]と[n][xp+1]がそれぞれ仮想点となるため、
後退差分又は中心差分により
u[n][-1]=u[n][0]又はu[n][1]と置き換え、
u[n][xp+1]=u[n][xp]又は[n][xp-1]
と置き換えて計算し、前進差分は使えないという解釈でよろしいでしょうか？
また、後退差分と中心差分のどちらを使ってもよいのでしょうか？