この表現行列の意味が分かりません。

質問

授業で執ったノートで分からない箇所がありまして。

『C^n⊃{u_1,u_2,…,u_n}をC^nの正規直交基底とし,(α_kj)をd/dzA(z)|_{z=0}の{u_1,u_2,…,u_n}での表現行列とすると
d/dzA(z)|_{z=0}u_j=Σ_{k=1..n}α_kju_k.
と書ける。

この時,行列式の微分係数について,(A_1(z),A_2(z),…,A_n(z)):=A(z)とすると,

d/dz|A(z)||_{z=0}
=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|
=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},(α_1j,α_2j,…,αnj)^T,A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|』

となっています(^Tは転置行列を表す)。表現行列というからにはAは線形写像(?)ですかね。行列?
でも,
「=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|」
とかでは行列っぽく書いてあります。

「d/dzA(z)|_{z=0}u_j=Σ_{k=1..n}α_kju_k.」…(*)

と書けるのは表現行列の定義から分かりますし,

「d/dz|A(z)||_{z=0}
=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|」

という変形は,行列式の定義式から導けますね。
つまり,
d/dz|A_1(z),A_2(z),…,A_n(z)|
=Σ_{j=1..n}|A_1(z),…,A_{j-1(z),d/dzA_j(z),A_{j+1}(z),…,A_n(z)|
が成り立つ。

そこで,ただ,最後がどうして,
d/dzA_j(z)|_{z=0}が(α_1j,α_2j,…,αnj)^Tに化けるのかがわかりません。

(*)はもし,B:=d/dzA(z)|_{z=0}がn×n行列の意味なら

(Bu_1,Bu_2,…,Bu_n)
=
(u_1,u_2,…,u_n)
・
α_11,α_12,…,α_1n
α_21,α_22,…,α_2n
:
α_n1,α_n2,…,α_nn

と書けますが,これから,

B
=
α_11,α_12,…,α_1n
α_21,α_22,…,α_2n
:
α_n1,α_n2,…,α_nn

とは言えませんよね。

d/dzA_j(z)|_{z=0}の箇所が(α_1j,α_2j,…,αnj)^Tとなる理由をお教え下さい。

回答No.1

stomachman

どうもこの場のテキストでは、添字をアンダースコアで表すと分かりにくいんで、ベクトルvのi番目の成分をv[i], 行列Xのi行j列の成分をX[i,j]のように書く事にします。

　まず基底(u[1], …, u[n])というのはn個のn次元縦ベクトルを横に並べたもの。これを行列Uとしますと、
　　U[i,j] = (u[j])[i]
である。右辺はベクトル(u[j])の第i番目の成分、ってことです。
　さて、何かの集合Z(たとえば実数とか複素数とか、なんかそんなやつ)からC^nへの関数であるA(z)を
　　A(z) = J(z) U
と表すことにしましょ。（ご質問ではAとJを区別しないでどっちもAと書いているからややこしくてしょうがない。）
　するとJ(z)は「z∈ZからCへの関数を成分とするn×n行列」です。J(z)の導関数を
　　J'(z) = (d/dz)J(z)
と書く事にします。（単に"|_{z=0}"なんて書くと鬱陶しいのを見やすくするためです。）すると、これは
　　J'(z)[i,j] = (d/dz)(J(z)[i,j])
を成分とするn×n行列であり、さらに（微分演算の線形性によって）
　　(d/dz)A(z) = J'(z) U
です。
　一方、α[k,j]を成分とするn×nの行列αがあって
> d/dzA(z)|_{z=0}u_j=Σ_{k=1..n}α_kju_k
すなわち
　　J'(0)U = (α^T)U
つまり（Uには逆行列(U^T)が存在するから）
　　J'(0) = α^T
です。

>　d/dz|A(z)||_{z=0}

とお書きなのは、（以下、行列式を見やすいようにdet( )と書くことにして）
　　D(z) = (d/dz) det(J(z))
としたときのD(0)の話をしている。これを
　　D(z) = Σ{j=1…n} det(J(z), ただしi=1…nについてJ(z)[i,j]を(d/dz)J(z)[i,j]で置き換えたもの)
と展開したんですね。
　以上で準備完了。

　ここで(d/dz)J[i,j]とはJ'(z)[i,j]に他ならないから、
　　D(z) = Σ{j=1…n} det(J(z), ただしi=1…nについてJ(z)[i,j]をJ'(z)[i,j]で置き換えたもの)
である。
　さて、z=0の場合は
　　D(0) = Σ{j=1…n} det(J(0), ただしi=1…nについてJ(0)[i,j]をJ'(0)[i,j]で置き換えたもの)
になるんだけど、
　　J'(0)[i,j] = α[j,i]
だったから、
　　D(0) = Σ{j=1…n} (J(0), ただしi=1…nについてJ(0)[i,j]をα[j,i]で置き換えたもの)
…という単純な話です。