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微分方程式（xとｙがｔで変化）
dx/dt=ax-by・・・１ dy/dt=-cx+dy・・・２ を解く時にマトリックスを使って解く方法も本に 書いてあったのですがなんだかよく分からなかった ので、地道に連立方程式を解くことにします。 しかし１をｔで時間微分し、２のdy/dtを代入すれば xだけの式になりますが、 （D^2-（a+d）D+(ad-bc)）x=0 を解くのでしょうか？？abcdではなく数値だったら 解けると思うのですが・・・これだと解けません。 最終的にxとyのグラフを書きたいのですが。 本当は最終的にx/y＝1になるための条件を書きなさいという問題なのですが、このようなアプローチをしてみました
- osewaninarimasu
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この問題はマトリックスで解くのが正解です それ以外は肉体労働者の方法です Ａ＝ ┌ ┐ │ａ －ｂ│ │ｃ ｄ│ └ ┘ ｘ＝ ┌ ┐ │ｘ（ｔ）│ │ｙ（ｔ）│ └ ┘ とすると ｘ’（ｔ）＝Ａ・ｘ（ｔ） ・・・（＊） となりすぐに解が求まり ｘ（ｔ）＝ｅｘｐ（Ａ・ｔ）・α ただしαは任意の２次元列ベクトル 以下は蛇足： 行列のｅｘｐの定義から （ｅｘｐ（－Ａ・ｔ））’＝－ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・Ａ よって（＊）は （ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・ｘ（ｔ））’＝０ と等価であることはこの式をほどいてみれば分かる よって任意の２次元列ベクトルｃを使って ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・ｘ（ｔ）＝α とおける なお ｅｘｐ（Ａ・ｔ） を簡単にするには Ａを対角化すればよい Λ＝Ｐ＾－１・Ａ・Ｐ と対角行列ΛにＡが対角化されるとすると ｅｘｐ（Ａ・ｔ）＝Ｐ・exp（Λ・ｔ）・Ｐ＾－１ となる exp（Λ・ｔ）は対角行列で極めて簡単なものである もし行列理論を知らないのであれば肉体労働者の手法で解くしかない
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- guuman
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x(t)= [x(t)] [y(t)] としたのが悪かったようです ｘ（ｔ）はベクトルで右辺のｘ（ｔ）と違うので ｕ（ｔ）というふうに別の文字を使うべきでした 書き直すと Ａ＝ ┌ ┐ │ａ －ｂ│ │ｃ ｄ│ └ ┘ ｕ（ｔ）＝ ┌ ┐ │ｘ（ｔ）│ │ｙ（ｔ）│ └ ┘ とおくと ｕ’（ｔ）＝Ａ・ｕ（ｔ） ・・・（＊） となりすぐに解が求まり ｕ（ｔ）＝ｅｘｐ（Ａ・ｔ）・α ただしαは任意の２次元列ベクトル ベクトルのほうのｘ（ｔ）をｕ（ｔ）を読み替えてください 同じ文字を使ったのが混乱の元でした ベクトルに太文字を使えないためにおきた悲劇です
補足
＊＊＊ exp(At)の次元はなんですか4*4の行列ですか？ ＊＊＊ 例をとってみます Ａ＝ ┌ ┐ │１ －２│ │４ －５│ └ ┘ ｕ（ｔ）＝ ┌ ┐ │ｘ（ｔ）│ │ｙ（ｔ）│ └ ┘ とおくと ｕ’（ｔ）＝Ａ・ｕ（ｔ） ・・・（＊） となりすぐに解が求まり ｕ（ｔ）＝ｅｘｐ（Ａ・ｔ）・α αは ┌ ┐ │ C1 │ │ C2 │ └ ┘ ココからなにをどうすればいいのでしょうか？
- guuman
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問題の式は （ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・ｘ（ｔ））’＝０ と等価ですが 微分して０だから任意の定数ベクトルαを使って ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・ｘ（ｔ）＝α とおけるからです この両辺に左からｅｘｐ（Ａ・ｔ）を掛ければ自明ですが・・・
補足
こんがらがると思ったので、 自分なりの解答を作ってみました。 間違ってるところを指摘してください。すいません x’=Aｘ・・・１とおくと 1の両辺に左からexp(-At)を掛けると exp(-At)x’=exp(-At)Ax・・・1' これを変形すると exp(-At)x’-exp(-At)Ax・・・１’’ （exp(-At)x’-Aexp(-At)x ？？？順番が分からない） これは {exp(-At)x}'=0を微分した物である よって ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・ｘ（ｔ）＝α（αは積分定数？） だから 左からｅｘｐ（Ａ・ｔ）をかけると x=ｅｘｐ（Ａ・ｔ）αとなる ココから分かりません。
- guuman
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補足 Ａを対角化すればよい Λ＝Ｐ＾－１・Ａ・Ｐ と対角行列ΛにＡが対角化されるとすると ｅｘｐ（Ａ・ｔ）＝Ｐ・exp（Λ・ｔ）・Ｐ＾－１ となる と書いたがAが対角化できない場合には ジョルダンの標準形化する Λ＝ ［λ １］ ［０ λ］ とすると ｅｘｐ（Λ・ｔ）＝ ［１ ｔ］・ｅｘｐ（λ・ｔ） ［０ １］ である Λ＝ ［β ０］ ［０ γ］ とすると ｅｘｐ（Λ・ｔ）＝ ［ｅｘｐ（β・ｔ） ０］ ［０ ｅｘｐ（γ・ｔ）］ であることは書くべきでないでしょう
補足
何度もすいません 以下は蛇足： >行列のｅｘｐの定義から （ｅｘｐ（－Ａ・ｔ））’＝－ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・Ａ 行列Aでもこれは成り立つのですね。 成り立つということで話を進めていくと 分かります。 >ｅｘｐ（－Ａ・ｔ）・ｘ（ｔ）＝α >とおける 確かになります。αというのは積分定数みたいな感覚 ですか？私は行列を計算したことがないのです。 後掛ける順番にも注意する必要がありますよね。 たとえばｅｘｐ（－Ａ・ｔ）を左から両辺に掛けたとして、合成微分の式を作りますよね。 行列の場合合成微分も出来るのですか？ >Λ＝Ｐ＾－１・Ａ・Ｐ >と対角行列ΛにＡが対角化されるとすると >ｅｘｐ（Ａ・ｔ）＝Ｐ・exp（Λ・ｔ）・Ｐ＾－１ >となる なにをしたんでしょうか 一番上の式を変形すると A＝Ｐ・Λ・P＾（－１）になりますね そこからたいすうをとったのでしょうか？ Exp（At）＝exp(Ｐ・Λ・P＾（－１）・ｔ)?????
- rabbit_cat
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（D^2-（a+d）D+(ad-bc)）x=0 は、特性方程式 d^2 - (a+d)d+(ad-bc) = 0 2解を、α、βとすれば、 （D-α）(D-β）x=0 となりますね。この形なら、x=… と解けると思います。 判別式 (a+d)^2-4(ad-bc) の符号によって、α、βが、実数だったり、複素数だったり、重解だったりするので、３つに場合わけしてください。
補足
親切にありがとうございます。 非常に感謝しています。 ｘ’（ｔ）＝Ａ・ｘ（ｔ） ・・・（＊） となりすぐに解が求まり ｘ（ｔ）＝ｅｘｐ（Ａ・ｔ）・α が理解できません。なぜこうなるのですか？