不等式の証明

質問

14(x^2+y^2+z^2)≧（3x-2y+z)^2　を証明するんですけど、分解してやる方法以外のやり方ってありますか？
あるんなら、教えてください。

回答No.3

onakyuu · ベストアンサー

ベクトルを知っていればですが、
２つのベクトルa=(x,y,z),b=(3,-2,1)を考えると
証明できます。
aの長さ|a|は √(x^2+y^2+z^2)
bの長さ|b|は √(3^2+2^2+1^2)=√14
なので右辺＝ (|a||b|)^2 です。
一方、左辺は２つのベクトルの内積a・b
の２乗です。左辺＝(a・b)^2
ここで公式
a・b=|a||b|cosθ　（θは２つのベクトルの間の角度）
から
(a・b)^2=(|a||b|)^2 (cosθ)^2 < (|a||b|)^2
となり命題が証明できます。

回答No.2

yaksa

あらら、間違えた
|(3,-2,1)|^2・|(x,y,z)|^2≧（(3,-2,1)・(x,y,z))^2

回答No.1

yaksa

シュワルツの不等式
|(3,-2,z)|^2・|(x,y,y)|^2≧（(3,-2,z)・(x,y,z))^2