集合証明

質問

Z⊂X⇔X∧(Y∨Z)=(X∧Y)∨Z
という問題で証明を試みているのですが、手詰まりで困ってます。
Z⊂X⇒Z∧Z⊂X∧Z
　　　⇒Z⊂X∧Z
　　　⇒(X∧Y)∨Z⊂(X∧Y)∨(X∧Z)
　　　⇒(X∧Y)∨Z⊂X∧(Y∨Z)
ここからベン図を用いずにX∧(Y∨Z)=(X∧Y)∨Zまで求めたいです。
(X∧Y)∨Z⊂X∧(Y∨Z)かつX∧(Y∨Z)⊂(X∧Y)∨Zによって
X∧(Y∨Z)=(X∧Y)∨Zとなるとは思うのですがそこまでの過程がわかりません。
同じく
X∧(Y∨Z)=(X∧Y)∨Z⇒
のベン図を用いない証明方法も教えてほしいです。よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

X ∩ (Y∪Z) = (X∩Y) ∪ (X∩Z)
Z ⊂ X ⇒　X∩Z = Z
より、

Z ⊂ X 　⇒ 　X ∩ (Y∪Z) = (X∩Y) ∪ (X∩Z) = (X∩Y) ∪ Z

ではだめですか。
展開するときに等号で結べるなら、わざわざX∩(Y∪Z) （ ⊃ かつ ⊂ ） (X∩Y)∪(X∩Z)　を言う必要はないと思うのですが。

逆向きは、

X~ を Xの補集合、∈/ を∈の否定とさせていただいて、
ｚ∈ ( Z ∩ (X~) ) が存在したと仮定すると、z ∈ ((X∩Y) ∪ Z ) であるが z ∈/ (X ∩ (Y∪Z)) なので、X ∩ (Y∪Z) = (X∩Y) ∪ Z　に矛盾。
よって、ｚ∈ ( Z ∩ (X~) )は存在せず、z ∈ Z なら z ∈ X であるから Z ⊂ X

でいいのかな。

お礼

回答ありがとうございます。確かにわざわざX∩(Y∪Z) （ ⊃ かつ ⊂ ） (X∩Y)∪(X∩Z)　を言う必要はないと思いました。
こちらの解答のほうがとてもすっきりしていてわかりやすかったです。

回答No.1

Tacosan

集合を考えるんだから, 使う記号は∧や∨じゃなくて∩とか∪ですね.
さておき, 左→右は Z = X∩Z を使うんでしょうね. これは, 自明に X∩Z⊂Z であることを使うのがいいかな.
逆は.... x ∈ Z \ X が存在すれば右の 2つが違うことは一瞬なんだけどねぇ.

お礼

「かつ」、「または」で変換すると、「∧」、「∨」だったのでこれでいいのかと思い、今まで使ってました。
これからはきちんと「∩」、「∪」で使っていきたいと思います。ありがとうございました。