不等式の証明
x>0,y>0,z>0,√x+√y+√z=1のとき、次の式を証明せよ。
(x^2+yz)/√{2x^2(y+z)}+(y^2+zx)/√{2y^2(z+x)}+(z^2+xy)/√{2z^2(x+y)}>=1
考えたのは、次のようなことです。
(1) a=√x,b=√y,c=√zとおいて、a+b+c=1、与不等式も、a,b,cの式に置き換えてみた。
次数が大きくなるだけで、見やすくはなっていないように思った。
(2) 相加相乗平均から分母√{2x^2(y+z)}=<(2x^2+y+z)/2=x^2+(y+z)/2
よって、(x^2+yz)/√{2x^2(y+z)}>=(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}
他の２つの項も同様にして、
(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}+(y^2+zx)/{y^2+(z+x)/2}+(z^2+xy)/{z^2+(x+y)/2}>=1
を示せばよいと思いました。
どうやって、右辺の１に持って行くかで、２つ考えました。
ア．(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}>=1/3を示して、残り２項との和から右辺１に持って行く。
イ．(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}>=√x/{□+□+□} なる式を考えて、残り２項との和から示す。
ウ．(x^2+yz)/{x^2+(y+z)/2}=1+{(yz-(y+z)/2}/{x^2+(y+z)/2}として考える。
(3) コーシー・シュワルツが使えないかも考えたが、どんな式に持って行けばよいのか、わからず。
よろしくアドバイスをお願いします。
