微分の例問題の続きです…よろしくお願い致します。

質問

微分の例問題の続きです。詳しい解き方と答えを教えていただければと思い載せます…何卒よろしくお願い致します。

回答No.2

applydisappear

問題７の（２）の訂正

（誤）x=0付近ではx<0となります。
（正）x=0付近ではz<0となります。

（誤）x=0付近ではx>0となります。
（正）x=0付近ではz>0となります。

回答No.1

applydisappear

問題４
（１）詳しい解き方はありません。cosx=-1/2となるものを(0,π)で探すだけです。答え：2π/3
（２）これも普通に計算するだけ。y=Arccosxとする。
dy/dx=1/(dx/dy)=-1/siny=-1/√(1-(cosy)^2)=-1/√(1-x^2)

問題５（答えだけで良いのでしょう）
（１）x-x^3/6
（２）-x-x^2/2-x^3/3
（３）1-3x+6x^2-10x^3

問題６
（１）答えを出すだけならば、テイラー展開で
sinx=x-x^3/6+x^5/120+o(x^6)
cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)
つまり
lim[x→0](-x^2/2+x^4/24+o(x^5))/(-x^3/6+x^5/120+o(x^6))
=(-1/2)/(-1/6)=3
（２）答えを出すだけならば、テイラー展開で
sinx=x-x^3/6+x^5/120+o(x^6)より
lim[x→0]((x-x^3/6+x^5/120+o(x^6))/x^5-1/x^4+1/(6x^2))
=lim[x→0](1/120+o(x^6)/x^5)=1/120

問題７
(1)ただ、偏微分して連立方程式を解くだけ。
f_x(x,y)=3x^2+y^2-9y
f_y(x,y)=2xy-9x=0

f_y(x,y)=0となるのは、x=0の時か、y=9/2の時。
x=0の時は、f_x(x,y)=0となるのはy=0とy=9
y=9/2の時は、x=3√3/2の時。

つまり、
(x,y)=(0,0)、(0,9)、(3√3/2,9/2)、(-3√3/2,9/2)

(2)ヘッセ行列が正定値ならば極小、ヘッセ行列が負定値ならば極大ということです。そして、ヘッセ行列の行列式が負の時は極値ではない。

(3√3/2,9/2)：H=[[9√3,0],[0,3√3]]で正定値。つまり、この点で極小値を取る。この行列の書き方は、wolfram alphaで確認せよ。固有値が全て正なので、これは正定値行列である。

(-3√3/2,9/2)：H=[[-9√3,0],[0,-3√3]]で、-Hが正定値のため、Hは負定値。つまり、この点で極大値を取る。この行列の書き方は、wolfram alphaで確認せよ。

(0,9)：H=[[0,9],[9,0]]で行列式は負のため、極値を取らない。

(0,0)：H=[[0,0],[0,0]]で判定不能。これは力技です。

f(x,y)=x^3+x(y^2-9y)とありますが、f(0,0)=0です。これが極値ならば、(0,0)の近くの周りの点では、0未満から0より大きくならないといけないはず。

y=xの平面で、z=f(x,y)の平面を切り抜くと、切り抜いた曲線が描く座標は(x,y,z)=(x,x,2x^3-9x^2)となり、x=0付近ではx<0となります。

y=-xの平面で、z=f(x,y)の平面を切り抜くと、切り抜いた曲線が描く座標は(x,y,z)=(x,x,2x^3+9x^2)となり、x=0付近ではx>0となります。

つまり、極値ではない。