微分の問題です、助けてください。

質問

参考書に、答えが［略］になっていて困っています。
問題は、
「ｘ＝aｔ^4　に対して、3つの差分の違いを調べて見なさい。
(1)前進差分を求めなさい。
(2)中心差分を求めなさい。
(3)後進差分を求めなさい。
(4)Δt→０　では、3つの差分はどれも等しく、微分dx(t)/dt　に収束することを見なさい。
(5)０<Δ≪１のとき、微分からの誤差がもっとも小さいのはどの差分であるか。」
という問題でした。答えを教えてください！
私は、数学が苦手で、答えだけを見てもわからないことが多々あるので、できれば、式の過程や、説明を教えてくれるととても助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

oshiete gooさんに教えて頂いた参考ＵＲＬの定義をそのまま使うのですね。参考に少しやってみます。
問1から4
Δｔの代わりにΔｔ＝ｈと置きます。
ｘ＝aｔ^4
(1)前進差分、
{f(x+h)-f(x)}/h
=a{(ｔ+h)^4-t^4}/h=a{(ｔ+h)^2(t+h)^2-t^4}/h
=a{(ｔ^2+2th+h^2)(ｔ^2+2th+h^2)-t^4}/h
=a{(ｔ^4+4t＾3h+6t＾2h＾2+4th＾3+h^4)-t^4}/h
=a{4t＾3h+6t＾2h＾2+4th＾3+h^4}/h
=a{4t＾3+6t＾2h+4th＾2+h^3}
h→0、f'(x)=a4t＾3
(2)後退差分
{f(x)-f(x-h)}/h
=a{t^4-(ｔ^4+4t＾3(-h)+6t＾2(-h)＾2+4t(-h)＾3+(-h)^4)}/h
=a{t^4-(ｔ^4-4t＾3(h)+6t＾2(h)＾2-4t(h)＾3+(h)^4)}/h
=a{4t＾3h-6t＾2h＾2+4th＾3-h^4}/h
=a{4t＾3-6t＾2h+4th＾2-h^3}
h→0、f'(x)=a4t＾3
(3)中心差分
{f(x+h)-f(x-h)}/2h
=a{8t＾3h+8th＾3}/2h {(1)と（２）利用から｝
=a{8t＾3h+8th＾3}/2h
=a{4t＾3+4th＾2}
h→0、f'(x)=a4t＾3

問5
「０<Δ≪１のとき、微分からの誤差がもっとも小さいのはどの差分であるか。」
０<ｈ≪１
(1)前進差分
＝a{4t＾3+6t＾2h+4th＾2+h^3}
だったから、誤差ε1は、
=a{4t＾3+6t＾2h+4th＾2+h^3}-a4t＾3
=a{6t＾2h+4th＾2+h^3}
(2)後退差分、
=a{4t＾3-6t＾2h+4th＾2-h^3}
同じく誤差ε2は、
=a{-6t＾2h+4th＾2-h^3}
(3)中心差分
=a{4t＾3+4th＾2}
同じく誤差ε3は、
=a{4th＾2}
になりますね。０<ｈ≪１ですから、h＾3< h＾2< h, を考えて
誤差ε1,ε2,ε3比較すればＯＫですね。答え三番目かな？

式の分解過程で記載の間違いがあるかもしてないので、
勉強の参考までにしてください。
参考程度まで

お礼

詳しい解答ありがとうございます。
式があってわかりやすくて、助かりました。
特に、問５はどうやってやればいいのかわからなかったので、とても参考になりました。

回答No.1

oshiete_goo

教科書の定義か
参考URL
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/pdetutor/node12.html
にある定義に従ってそれぞれできるところまで計算してみられてはどうでしょう.
結果を補足すれば, アドバイスがつきやすいのではないでしょうか.

参考URL：

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/pdetutor/node12.html

お礼

参考ＵＲＬありがとうございました。
おかげで、途中まで、解くことができました。