極限

質問

問題の下線部が解答の下線部に変形されると思うのですが、どういった手順でそうなるか教えて下さい。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

まず、
lim(n→∞)an＝α
lim(n→∞)bn＝β
というように、極限値が存在するanとbnについて、
定理:lim(n→∞)an・bn＝αβ
が成り立ちますよね
(極限値がない数列だと
0×∞のような不定形となり
この定理は成り立たない！)

そこで、問題文に与えられた
lim(3n+1)an＝1　…(極限値あり！)
の利用を考えるわけです
そして、極限を求めるべきn・anにどう結びつけるか考えます

n・an　と　(3n+1)an
この段階だと、左辺と右辺を比較して
anは等しいので、後は(3n+1)部分をnに等しくすれば、左辺＝右辺　となります
で、一つの考え方としては
まずは、(3n+1)部分を1にしてしまおう、と言う事にします
そのためには、(3n+1)で割ってあげれば良い
→　(3n+1)an÷(3n+1)＝1・an＝an
後、何をすれば良いかと考えると、　
続いてn倍すれば左辺＝右辺となるのは簡単に思いつきますから
n(3n+1)an÷(3n+1)＝n・1・an＝n・an
より
(3n+1)anに、n/(3n+1)をかけてあげれば
n・anと等しくなる
すなわち
n・an＝(3n+1)an×{n/(3n+1)}　
と言う式を書くことが出来るわけです

お礼

細かいところまで解説ありがとうございました。助かりました。

回答No.2

f272

問題の下線部が解答の下線部に変形されるわけではありません。問題の下線部の極限をとっている式を参考にして、解答の下線部を求めているのです。
n*a[n]の極限を求めるのですから、n*a[n]がどんな式になっているかがわかっていなければなりません。そこで使えるのは問題の下線部の式だけですので、それが何とか使えるように
lim n*a[n]
=lim( n/(3n+1) * (3n+1)a[n] )
=lim( n/(3n+1) ) * lim( (3n+1)a[n] )
のようなことを考えているのです。

お礼

解説ありがとうございました。助かりました。