数列の極限

質問

ａn+1＝{ａn＋(２/ａn)}/2、ａ１＝２
のlim(n→∞)ａnを求めたいです。
相加相乗平均とかで式変形するみたいですがテクニカルな解答になるらしく上手くいきません。
お願いします(>_<)

回答No.4

naniwacchi

#2です。

何度もすいません。
いろいろと記述を間違っていたので、改めて。

| a[n]- √2 |
＝ | ( a[n-1]+2/a[n-1] )/2- √2 |
＝ | R |* | a[n-1]- √2 |

としたとき、R＝ 1/2- √2/a[n-1]となります。
この Rに対して、-1/2＜ R＜ 1/2 すなわち | R |＜ 1/2であることを示します。
（相加相乗平均の関係をここで用います）

すると、
| a[n]- √2 |＜ 1/2* | a[n-1]- √2 |

という不等式が示されます。

あとはこれを繰り返して
| a[n]- √2 |＜ (1/2)^(n-1)* | a[1]- √2 |

を導出し、はさみうちの原理に持ち込みます。

回答No.3

naniwacchi

#2です。
一部間違いがありました。

＞そして Rについて、-1＜ | R |＜ -1/2であることを示すことができます。
ここは、-1/2＜ | R |＜ 1/2でした。
相加・相乗平均の関係から a[n]≧ √2となることを示し、
それを用いて上記の不等式を示します。

失礼しました。

回答No.2

naniwacchi

#1さんが書かれている方法で検討を付けたところで、その値：αに対して
| a[n]-α |→ 0（n→ ∞のとき）となることを示します。

α＝±√2と解は与えられますが、数列：{ a[n] }は明らかに正の数の数列となるので、
α＝√2となることを示します。

| a[n]- √2 |
＝ | ( a[n-1]+2/a[n-1] )/2- √2 |
＝ | R |* | a[n-1]- √2 |

ここで Rはある数になります。
右辺を a[n-1]- √2でくくり出すことを考えてみてください。
そして Rについて、-1＜ | R |＜ -1/2であることを示すことができます。

あとはこの不等式を繰り返し適用することで
　| a[n]- √2|≦ (| R |)^(n-1)* | a[1]- √2 |

となり、はさみうちの原理から | a[n]- √2 |→ 0を示すことができます。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q8153502.html

回答No.1

DJ-Potato

an+1 = (an + 2/an)/2
2 an+1 = an + 2/an
2 an+1×an = an^2 + 2
2 an+1×an - an^2 = 2
an(an+1 + an+1 - an) = 2

anがある値に収束するとすれば、n→∞のとき、(an+1 - an)→0 となるので、
an^2 = 2

という、乱暴な解き方もあります。