高１数学

質問

画像の問題について、なぜ(ⅱ)ではD<0を使うのではなく、1≦x<3とf(a)>0を使うのですか？D<0の時点でグラフはx軸より上にあるので軸の位置関係なく全ての実数は正になると思ったのですが...
また、この場合なぜ(Ⅰ)と(ⅱ)の範囲を合体させるのかもわかりません。
どなたか教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

頂点が定義域より左にあるか、それとも定義域内にあるかで
グラフが最も低くなる位置が変わってくるので

まずは(ⅰ)のようなaの範囲と(ⅱ)のようなaの範囲で分ける事が必須です

なので
頂点が定義域内に来る
場合分けの(ⅱ)では
1≦a＜3
が、aの範囲の大前提です！

(ⅱ)では、はじめに1≦a＜3ありき　と言う事であり
加えて、
この場合題意を満たすためには
f(a)＞0であることが必要だよね
と言う事なので
いくら、−1＜a＜2.5がf(a)＞0を満たしているからと言って、これがそのまま(ⅱ)の結論になるわけではなくて
大前提のaの範囲から外れた部分は除外して最終結論となるわけです
すなわち、1≦a＜3と−1＜a＜2.5の共通範囲が
(ⅱ)の最終結論と言うわけです

お礼

テスト前日だったので助かりました！ 二次関数の問題みたいに最小の位置の変わり目で区切って、その状態はf(a)>0だから...とか考えれば良いんですね！ 本当にありがとうございました！

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回答No.1

maskoto

(ⅱ)では
D＜0とf(a)＞0であることは全く同じ事です(同値です)
というのも、両者ともに頂点のy座標が正を意味するからです
試しに、D＜0↔D/4＜0を式にしてみると
f(x)＝x²−2ax−a²+3a+5
D/4＝a²+a²−3a−5＜0　　
2a²−3a−5＜0であり
f(a)＞0からは
f(a)＝−2a²+3a+5＞0
↔2a²−3a−5＜0
なので、両者とも2a²−3a−5＜0が得られる事が分かります

次の質問について、
(ⅰ)で記述した内容から
−2＜a＜1では、y＝f(x)が題意のxの範囲では常に正となる事が言えました

同じく(ⅱ)の記述から
1≦a＜2.5でも、y＝f(x)が題意のxの範囲では常に正となる事が言えました

つまり、この問題のaの答えの範囲は
−1.9999999…〜0.99999999…まで
及び
1〜2.499999…
です！
0.99999999…　とは、1のすぐお隣の数の事なので、0.9999999…　に続く数が1であり
0.999999…　と　1　の間には他に数がなく
両者は連続しているといえます
そこで、上記2つの範囲を一括して述べるなら

−1.9999999…〜2.49999999…まで
すなわち−2＜a＜2.5
となるのです

補足

なるほど！
f(a)＞0を使う理由と−2＜a＜2.5になる理由がわかりました！
ですが、なぜf(a)＞0にあわせて1≦x<3も使うのでしょうか？
何度もすみません...