添付をお願いします。

質問

次の問題の添付をお願いします。

次の不等式を証明せよ。
a＋b=1のとき、a^2＋b^2≧1/2

〔解答〕
a＋b＝1⇔a＝1－b

よって（左辺）－（右辺）
　　　＝(a^2＋b^2)－1/2
　　　＝(1－b)^2＋b^2－1/2
　　　＝1－2b＋b^2＋b^2－1/2
　　　＝2b^2－2b＋1/2
　　　＝(4b^2－4b＋1)/2
　　　＝｛√2(2b－1)/2｝^2≧0
等号成立はa＝1/2,b＝1/2

回答No.5

Kerufin · ベストアンサー

申し訳ございません、前眠すぎて間違えました。
前半の証明はこちらの方が正しいと思います。

まず、a＋b＝1により、1/4≧abが証明できます。
この結果を使うと、
a^2＋b^2
＝(a＋b)^2－2ab
＝1-2ab
≧1-2*1/4
＝1/2
以上です。前間違えってごめんなさい。

回答No.6

Ama430

良いですが最後の変形部分は

｛√2(2b－1)/2｝^2

よりも

(2b-1)^2/2

とした方が素直な形と思いますが。

回答No.4

Kerufin

簡単に言うと、

（左辺）－（右辺）
＝(a^2＋b^2)－1/2
≧(a^2＋b^2)－2
＝(a^2＋b^2)－2(a＋b)
(a＋b＝1を使って)
＝(a＋b)^2＝1≧0

等号成立は
　a^2＋b^2＝1/2
⇔(a＋b)^2－2ab＝1/2
⇔2ab＝1/2
⇔ab＝1/4
⇔a(1－a)＝1/4
⇔a=1/2
(bは同じですから、省略します)

回答No.3

noname#20428

図にして考えても良いと思います。

a-=x b=y と置き換えると、

x＋y=1のとき、x^2＋y^2≧1/2
を証明せよ、という問題になります。

x+y=1 はy=-x+1・・・(1)
となり、これは切片1、傾き-1の直線ですね。

x^2＋y^2≧1/2　は半径が√(1/2)の原点を中心とした円または円の外側を表します。

(1)の直線はこの円に座標(1/2.1/2)で接する接線で円の外側にあるので(1)の直線上にあるx,yにおいては
x^2＋y^2≧1/2
を満たすことがわかります。

説明わかりにくいですか？そうでしたらごめんなさい。

回答No.2

0123456789A

添付⇒添削ですか？
あってます。
#1の方の言う、b>0の条件は必要ないように思いますが

回答No.1

toraou

計算上あっていますが、最初に（b>0）とか条件をつけたらどうでしょうか？