階乗 ０！＝１をめぐる問題

質問

階乗 ０！について、
０！＝１とするのは、「演算上の約束」と聞きますが、一般常識としては考えにくいですね。普通の感覚では、０！＝０としか考えられません。

そこで、お尋ねします。
① ０！＝１とするのは、単なる「約束」（実際はそうならないが、この場合のみそうなるものとする）ですか？ そうだとしたら、「もっとまともな」根拠はないのでしょうか。
② ０！がいくつかということに関しては、「０！＝１と、０！＝０の２つがある」と考えるのは間違いでしょうか。例えば、a²＝１の場合、a＝±１と２つの解がありますね。この場合「a＝＋１、および、a＝－１が恒常的に成立」しますね。０！はこれと少し違いますが、「場合によって、０！＝１、または、０！＝０が成立する」、とするのは無理でしょうか？ そういう考え方は根本的に間違っているでしょうか。
③ 仮に、「a＝＋１、および、a＝－１」同様に、「０！＝１、または０！＝０」が成立すると認めてもよい場合、後者の２つの解をどんな風に呼び分けたらいいでしょうか。例えば、「０！＝１を条件解、０！＝０を一般解」とするとか、「０！＝１を演算解、０！＝０を数理解」とするとかではまずいでしょうか。（もしそういう捉え方を認めるとして）どちらの呼び方が良いでしょうか。それとも、どちらも変でしょうか。

以上①②③につきまして、理由とともに、ご教示くださいますようお願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

> ０！＝１とするのは、「演算上の約束」と聞きますが

そういう定義もありますね。まあ，どんな定義を採用するにせよ0!=1としないと階乗の重要な性質が成り立たなくなってしまいます。

> 一般常識としては考えにくいですね。普通の感覚では、０！＝０としか考えられません。

n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1
とすればn!はn個の数値の掛け算です。ここでn=0であれば0この数値の掛け算になって何も掛けないことになります。そういう時にどうするかといえば掛け算の単位元を使うのが最も自然です。掛け算の単位元というのは，どんな数値でもそれに単位元を変えても元の数値に等しくなるというものです。何も掛けないのと同等ということです。
0!を0と考えるのが普通の感覚というのは，どういう感覚ですか？
(1)
「約束」というのは「実際はそうならないが、この場合のみそうなるものとする」だと思っているのですか？約束を数学の言葉でいえば定義を意味するのだと思いますが，それは実際にそうなのです。ある特定の場合だけそうなるのではありません。
もっとまともな根拠はすでに上に書きました。
(2)
「０！＝１と、０！＝０の２つがある」と考えるのは間違いです。そもそも0!=0として便利になる場面はありません。
ついでに言えば
この場合「a＝＋１、および、a＝－１が恒常的に成立」
というときの「および」という言葉の使い方は間違っています。「または」です。
(3)
後者の２つの解をどんな風に呼び分けたらいいかに関しては，そもそも解ではないと言っておきます。解とは方程式を成り立たせる未知数の値のことです。
0!=0を誤解といってもいいですけどね。

お礼

ご回答ありがとうございました。
＞ 0!を0と考えるのが普通の感覚というのは，どういう感覚ですか？
⇒例えば、３！は「１×２×３」ですよね。それなら、０！は「？×０」ということになるでしょう？ つまり、「何かにゼロを掛けたらゼロになる」という感覚です。

＞(1) 「約束」というのは「実際はそうならないが、この場合のみそうなるものとする」だと思っているのですか？約束を数学の言葉でいえば定義を意味するのだと思いますが，それは実際にそうなのです。ある特定の場合だけそうなるのではありません。 もっとまともな根拠はすでに上に書きました。
⇒２つの異なる数値（仮に、a, bとする）を解にもつ場合がよくありますが、それは「〇〇ならばa、△△ならばb」のように「相補分布」しますね。この相補分布する解の状況を上位のレベルに適用できるのではないかと考えた次第です。

＞(2) 「０！＝１と、０！＝０の２つがある」と考えるのは間違いです。そもそも0!=0として便利になる場面はありません。 ついでに言えば この場合「a＝＋１、および、a＝－１が恒常的に成立」 というときの「および」という言葉の使い方は間違っています。「または」です。
⇒了解です。ありがとうございました。

＞(3) 後者の２つの解をどんな風に呼び分けたらいいかに関しては，そもそも解ではないと言っておきます。解とは方程式を成り立たせる未知数の値のことです。 0!=0を誤解といってもいいですけどね。
⇒通常はそうなりますよね。分かります。ただ、今回私は上で述べたような変なことを考えましたので、表現がちぐはぐになったかも知れません。

なお、追加のアドバイスがありましたらお願いします。特に、冒頭と(1)についてコメントいただければ嬉しいです。

回答No.6

f272

> 記号「！」が数学において単純に意味することと、それが階乗の演算で果たす機能との間に違いがあると思うのです。

意味不明のことを言っているようだ。数学において記号「!」は階乗の演算記号の意味しかありません。「違いがあると思うのです」と言われても違いはありませんというほかはない。

> もし、PCのまっさらな論理演算装置に、《数学において自然数 n の階乗（ factorial）n ! とは、1 から n までの全ての整数の積のことである。例えば、6!=6×5×4×3×2×1=720 である。》という説明だけを入れて答えさせたら、《n=0の場合：n!=０（または、解答不能）、n>0の場合：n×(n−1)!》と答えるだろうと思います。

PCのまっさらな論理演算装置というのはどういうものをイメージしているかはっきりしませんが，学習していない生成AIのようなものだとしたら，n=0の場合のn!はわかりませんというでしょう。なぜならn=0の場合の定義がないのですから。勝手に類推することはありません。
しかし，学習を行えばn=0の場合はn!=1と答えるようになるでしょう。

> そして、《ただし、空積の規約の下 0! = 1 と定義する。》と入力してはじめて、《n=0の場合：n!=1。n>0の場合：n×(n−1)!》と答えることになるのではないでしょうか。

そういう入力をすればn=0の場合はn!=1と答えるでしょうが，それ以外にもn>0の場合の定義を自然に延長してn=0の場合の定義を作れと言ってもn=0の場合はn!=1と答えるようになります。

> 個人的には、何も前置きがなく、いきなり《0! = 1 と定義する》と突きつけられるのが、どうにも「気持ち悪い」のです。

私には0!=0と言われるほうが気持ち悪いですけどね。階乗は掛け算で，掛け算の最も基本的な要素は1である，というのがこのとき頭の中で考えていることです。
「何も前置きがなく、いきなり」が気持ち悪いなら，そうでない定義を採用すればよいと思う。例えば，n! = ( n 元集合の置換の総数 )とか。

お礼

再三ご返信くださり、ありがとうございました。

＞意味不明のことを言っているようだ。数学において記号「!」は階乗の演算記号の意味しかありません。
⇒はい、でも《記号「!」は階乗の演算記号である》というだけでは、
（少なくとも文字面では）自動的に0! = 1も含むわけではないですよね？
それはともあれ、ご説明ありがとうございました。

回答No.5

noname#262526

数学の世界では、定義はお約束とかルールです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

＞数学の世界では、定義はお約束とかルールです。
⇒そうですね。問題は例外の扱い方ということになりますかね。

回答No.4

jack-a3

数学の世界では定義とは「決まり事、ルール」です。「全ての辺の長さが等しい四角形を正方形と呼ぶ」みたいなもので、正しいとか正しくないというのは置いといて、「とりあえずそうすることにした」というものです。
なので、「0!＝0」と定義したらどうなるか、ということも構築可能です。
で、やってみますと。

階乗の定義より(n+1)!÷n!＝n+1ですので、これを変形して(n+1)!＝n+1×n!
…ですよね？

0!＝0の場合、上記の式はn＝0の時に成立しないので、「n>0に限る」という条件が付いてしまいます。一方で0!＝1ならば上記式はn＝0の時にも成立します。
一般的に数学の世界では（数学に限らず科学全般ですが）特異点や特殊条件が極力少ないないシンプルな式であるほど美しい、という美学があるので、「0!＝1」と定義した方が美しい、とされているのです。
ましてや0!＝0であり同時に0!＝1でもあるなんて定義にしたら、上記はどういう条件を付けることになるか、と考えると「美しくない」として、n!＝1の定義に劣るとされます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
すみません、以下は回答No. 3さんへのお礼と同じ内容です。

反発ばかりで恐縮ですが、「事情説明」をさせてください。
⇒記号「！」が数学において単純に意味することと、それが階乗の演算で果たす機能との間に違いがあると思うのです。もし、PCのまっさらな論理演算装置に、《数学において自然数 n の階乗（ factorial）n ! とは、1 から n までの全ての整数の積のことである。例えば、6!=6×5×4×3×2×1=720 である。》という説明だけを入れて答えさせたら、《n=0の場合：n!=０（または、解答不能）、n>0の場合：n×(n−1)!》と答えるだろうと思います。そして、《ただし、空積の規約の下 0! = 1 と定義する。》と入力してはじめて、《n=0の場合：n!=1。n>0の場合：n×(n−1)!》と答えることになるのではないでしょうか。

確かにn!=０などという突飛なことを混ぜ込んだら、美しくはないかも知れません。ただ、この場合、そういう区分（数学的記号「！」に条件がかからない場合の意味と、階乗の演算子として用いられる場合の違い）の説明を加えることが可能かどうか、という問いです。個人的には、何も前置きがなく、いきなり《0! = 1 と定義する》と突きつけられるのが、どうにも「気持ち悪い」のです。

回答No.3

f272

> つまり、「何かにゼロを掛けたらゼロになる」という感覚です。

0の階乗ではゼロを掛けているのではなく，何も掛けていないのですけどね。3!が「１×２×３」であれば，0!は「？」です。aの0乗が何も掛けていないののと同じことです。
でも0!=0になるという人がどういうイメージを持っているのかがわかりました。

> それは「〇〇ならばa、△△ならばb」のように「相補分布」しますね。この相補分布する解の状況を上位のレベルに適用できるのでは

そんな定義は美しくありません。美しくない定義はまず間違いなく大した理論を作ることはできません。だから他の部分での定義からの自然な延長になるように定義を作ります。

お礼

再度のコメントをありがとうございました。
反発ばかりで恐縮ですが、「事情説明」をさせてください。

＞0の階乗ではゼロを掛けているのではなく，何も掛けていないのですけどね。3!が「１×２×３」であれば，0!は「？」です。aの0乗が何も掛けていないののと同じことです。 でも0!=0になるという人がどういうイメージを持っているのかがわかりました。
⇒記号「！」が数学において単純に意味することと、それが階乗の演算で果たす機能との間に違いがあると思うのです。もし、PCのまっさらな論理演算装置に、《数学において自然数 n の階乗（ factorial）n ! とは、1 から n までの全ての整数の積のことである。例えば、6!=6×5×4×3×2×1=720 である。》という説明だけを入れて答えさせたら、《n=0の場合：n!=０（または、解答不能）、n>0の場合：n×(n−1)!》と答えるだろうと思います。そして、《ただし、空積の規約の下 0! = 1 と定義する。》と入力してはじめて、《n=0の場合：n!=1。n>0の場合：n×(n−1)!》と答えることになるのではないでしょうか。

≫それは「〇〇ならばa、△△ならばb」のように「相補分布」しますね。この相補分布する解の状況を上位のレベルに適用できるのでは
＞そんな定義は美しくありません。美しくない定義はまず間違いなく大した理論を作ることはできません。だから他の部分での定義からの自然な延長になるように定義を作ります。
⇒はい、確かに美しくはないかも知れません。ただ、この場合、そういう区分（数学的記号「！」に条件がかからない場合の意味と、階乗の演算子として用いられる場合の違い）の説明を加えることが可能かどうか、という問いです。個人的には、何も前置きがなく、いきなり《0! = 1 と定義する》と突きつけられるのが、どうにも「気持ち悪い」のです。

以上、いかがお思いになりますでしょうか。

回答No.1

SI299792

そういえば考えたことなかったので、調べてみました。
https://manabitimes.jp/math/1195#:~:text=0%E3%81%AE%E9%9A%8E%E4%B9%97%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9%200,%E3%81%AE%E9%9A%8E%E4%B9%97%E3%81%AF%200%21%3D1%20%E3%81%A8%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E3%81%99%E3%82%8B%E3%80%82

0 は何をかけても0 なので、0!=0にすると、0 を掛け算して答えが 0になってしまうから。というのが理由の様です。つまり計算のためにそうしています。

「０！＝１と、０！＝０の２つがある」
そうすると、階上関係の答えが、常に0 と0 出ない数字という２つの答えが出てきます。このうち 0は無意味です。
また、1!=0、2!=0も成り立ってしまいます。

AIに聞いてみましたが、上記サイトと同じ内容でした。

お礼

早速ご回答くださり、ありがとうございました。

添付してくださったリンクをクリックして閲覧させていただきました。言わんとすることはだいたい分かりましたが、いまいち「対症療法的理解」といいますか、「寛解しただけで、根治してない」ような感触が残っております。

すみません、単なる個人的な理解力不足かもしれません。その節は、ご寛恕のほどを。