2次方程式について質問です。

質問

2次方程式
p^2+2γp+ω^2=0について質問です。
質問(1)
(ii)γ^2>ω^2の場合(過減衰という)にはpの2根はともに実数でp=-γ±√(γ^2-ω^2)
となる。一般解は
x=Ae^-(γ-√(γ^2-ω^2))t＋Be^-(γ+√(γ^2-ω^2))t
と表され、非周期的な運動になる。A，Bは定数。
このようにありましたが、どうして
一般解は
x=Ae^-(γ-√(γ^2-ω^2))t＋Be^-(γ+√(γ^2-ω^2))t
と表されるのか途中式などを教えてください。
また、非周期的な運動になるのはどうしてですか？

質問(2)
γ^2=ω^2の場合(臨界減衰という)にはpは重根になるから、(ii)の形の一般解は使えない。この場合には
x=(A＋Bt)e^-γt
が一般解(定数を2つ含み、しかももとの方程式を満足させる)になっていることが確かめられる。
『γ^2=ω^2の場合(臨界減衰という)にはpは重根になるから、(ii)の形の一般解は使えない』
とはどういうことですか？
また、x=(A＋Bt)e^-γt
が一般解(定数を2つ含み、しかももとの方程式を満足させる)になっていることが確かめられる
となるのはどうしてなのでしょうか？

質問が多いですが、答えていただけると助かります。

回答No.1

mizutaki5654 · ベストアンサー

p^2+2γp+ω^2=0って
x''(t)+2γx'(t)+ω^x(t)=0という微分方程式の特性方程式じゃないですか？

x(t)=e^(pt)とおくと
(p^2+2γp+ω^2)e^(pt)=0
よりp^2+2γp+ω^2=0という特性方程式が得られます。

なぜx(t)=e^(pt)とおけるのか、なぜ一般解がそのように得られるのかは、微分方程式の基本的なところなので自分で調べて見て下さい。簡単には説明できないので・・・