y''=-yの一般解について

質問

授業では「二回微分して元に戻るといえば三角関数→y=Asinx+Bcosx　（A,Bは任意の定数）と推測→代入すれば成り立つから証明完了」みたいな流れで説明されました。
これが一つの解になるというのは確かに分かるんですが、本当にこれを指して一般解と言ってもいいのでしょうか？
別の解が無いこととかは証明しなくてもいいんでしょうか？
たとえば、x^2-3x+2=0という方程式があって、x=1をいれたら成立したからこれが解だと言っているのと同じような違和感を感じます・・・

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

あなたの学年とかが不明なので
一般的な話を．

線型n階常微分方程式の解空間はn次元である

この事実が基本．これは線型代数をちょろっと使うと
比較的簡単に証明できます．
c.f.　佐武「線型代数学」裳華房

これをもとにすれば，sin(x)とcos(x)が一次独立なので(*1)，
これらの線型結合ですべての解は記述できるという流れです．

(*1)証明は必要ですけど，容易だと思います．

>たとえば、x^2-3x+2=0という方程式があって、x=1をいれたら成立したからこれが解だと言っているのと同じような違和感を感じます・・・

この違和感は極めて正常というか，大事にしないといけません．
実際，この微分方程式のケースだと

二回微分して元に戻るといえば三角関数→y=A sin(x)（Aは任意の定数）と推測→代入すれば成り立つから証明完了

なんていう主張だと「片方」しかでてきていないのでアウトなんです．
これが二次方程式で「一個しか解を出してない」ことに相当します．
しかし先生は巧妙に「sin(x)とcos(x)の和全体」を
いきなり出して回避しているのです．
「なんで三角関数なのか」は「二回で戻る」が理由ですが
「なんで線型和にしているのか」というところが本質だったのです．

ちなみに・・・「二回で戻る」関数は，とりあえず係数を無視して
「e^x 系列」でもいいんですよ．一回で戻るんなら二回で戻りますから．
だから「e^x 系列」も解になりえます．係数を考えれば，
複素数を許容して，e^{ix} と e^{-ix} です．
これを基底にすれば立派な一般解です．

y''=-y を計算でとくとこんな感じです．
>>>あたまの中でこっそり
y''+y=0 なので取り合えずx^2+=0 をといて x=i,-i
ということは
(x+i)(x-i)=0 で，xの代わりに微分の d をいれて
(d+i)(d-i)y をやってみる
(d+i)(d-i)y=(d+i)(y'-iy)
=y''-iy'+iy'+y= y''+y
=0
だ。。。ということは z = y'-iy とおくと・・・
<<<ここまでこっそり
z=y'-iy とおくと
0 = y''+y = z'+iz =0
したがって，z = Ae^{-ix}
つまり，y'-iy = Ae^{-ix}
ここで，e^{-ix} を両辺にかけて
e^{-ix}y' - ie^{-ix}y = Ae^{-2ix}
(e^{-ix}y)' = Ae^{-2ix}
e^{-ix}y = 1/(-2i) Ae^{-2ix} + B
y = 1/(-2i) A e^{ix} + B e^{ix}
あとはオイラーの公式で整理すればOK
これは階数を下げる常套手段です．
＃興味があれば「演算子法」ってのを調べてください．

お礼

すみません、今年大学に入ったばかりの一年生です。
＞線型n階常微分方程式の解空間はn次元である
この定理も、線型n階常微分方程式という単語すら知りませんでした・・・ちょっと今の私には証明はきつそうですorz
しかし、これを前提として考えれば残りは理解できました。
とりあえず、この定理と演算子法を覚えておいて、もう少し知識がついたら深く突っ込んでみることにします。
とても親切な回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

banakona

（少々テクニカルかつ強引ですが）
＞y''=-y
つまり　y''＋０ｙ'＋y＝０
これを　（ｙ'＋ｉｙ)'－ｉ（ｙ'＋ｉｙ)＝０　・・・(1)
と変形します。（iは虚数単位。）
(1)より　（ｙ'＋ｉｙ)'／（ｙ'＋ｉｙ)＝ｉ
両辺をｘで積分すると　log｜ｙ'＋ｉｙ｜＝ｉｘ＋Ａ　　（Ａは積分定数。底はｅ。）
よって　　ｙ'＋ｉｙ＝Ｂe^(ｉｘ)　　（ただしＢ＝±e^Ａ）
両辺にe^（ｉｘ）を掛けて　e^（ｉｘ）ｙ'＋ｉe^（ｉｘ）ｙ＝Ｂe^(２ｉｘ)
（e^（ｉｘ）ｙ）'＝Ｂe^(２ｉｘ)
ｘで積分して　e^（ｉｘ）ｙ＝Ｂe^(２ｉｘ)／（２ｉ）＋Ｃ　　（Ｃは積分定数）
　　∴ｙ＝Ｂe^(ｉｘ)／（２ｉ）＋Ｃ e^（－ｉｘ）
オイラーの公式により　e^（ｉｘ）＝cosｘ＋isinx、e^（－ｉｘ）＝cosｘ－isinx。これらを代入して整理すると
　　∴ｙ＝｛（Ｂ／２）sinx＋Ｃ cosx｝－ｉ｛（B/2）cosx＋Ｃ sinx｝
これに初期条件（当然、実数ですよね？）を代入すれば、ｉが消えて
　y＝Ｄsinx+Ｅcosx
のような式が出てきます。

お礼

これは・・・確かに、疑いようがありませんね。
こんな変形で計算で解けるとは、全く考えもしませんでしたorz
ありがとうございました。