数学 中学生3

質問

この問題ってひたすら数字を代入する以外に効率の良い求め方ありますか？

答えは
(1,2) (1,8) (2,1) (2,4) (2,9) (3,6)(4,2) (4,8) (6,3) (8,1) (8,4) (8,9) (9,2) (9,8)
らしいです

回答No.4

staratras · ベストアンサー

この問題は、題意は明確で式の形も複雑ではないが、もれなく数えることが厄介なので、できるだけ効率的に探す必要があります。

まず題意は「a,bを1以上9以下の整数として72b/aが「ある整数の2乗」(平方数と呼びます）となるようなa,bの組み合わせを求めること」だと理解できます。

そこで72=2^3・3^2であることに着目するとa,bは2と3以外の素数の約数を持たず、a,bは２の何乗かと3の何乗かとの積（片方だけの場合もある）の1桁の整数であり、a,bの2の指数の合計は奇数、3の指数の合計は偶数である…（１）
ことがわかります。なぜならば例えばa,bの片方が5の倍数だとすればもう片方も
5の倍数5でなければなりませんがa=bでは72b/a=72となり平方数にはならず、
5の倍数で1桁の整数は5だけだからです。

またこのとき72b/aが平方数ならば、aとbを交換した72a/bも平方数です。…（2）
72b/a=n^2とおけば(nは整数）b/a=n^2/72　なので、a/b=72/n^2となり
両辺を72倍すれば72a/b=72^2/n^2=(72/n)^2 となりますが、nは必ず72の約数になるからです。

さらに、(b/a)の値は「これ以上約分できない分数（既約分数）」が一つ求められれば、派生的に同じ値になる組み合わせがわかります。…（3）
例えば(a,b)=(1,2)が題意を満たすことがわかれば(a,b)=(2,4)(3,6)(4,8)も明らかに満たします。

（1）より、a,bの候補となる整数は、1,2,3,4,6,8,9だけです。（２）よりa<bの場合だけ考え一覧表を作ると下のようになります。×は題意を満たさず、○は満たします。

例えば(a,b)=(1,2)の場合2の指数の合計は１(奇数)、3の指数の合計は0(偶数）だからマル。これから(a,b)=(2,4)(3,6)(4,8)が自動的にＯＫになります。
(a,b)=(8,9)の場合なら2の指数の合計は3(奇数）、3の指数の合計は2(偶数)だからマルです。

実質的にはマルは４通りしかないが、これの派生系（？）とa,bの交換を考慮すると(a,b)の組み合わせは以下の14通りとなります。
(1,2) (1,8) (2,1) (2,4) (2,9) (3,6)(4,2) (4,8) (6,3) (8,1) (8,4) (8,9) (9,2) (9,8)

お礼

ありがとうございました！

回答No.5

staratras

No.4の回答を読み返すと「効率的に探す必要がある」と言いながら、少し回りくどいので簡潔な回答を…。

まず、2と3の何乗かの積で表せる数について、(2の個数が奇数が偶数か,3の個数が奇数か偶数か）で表すことにします。例えば72は2の3乗(奇数個)と3の2乗(偶数個）の積だから、72=(奇,偶）です。0は偶数とします。1は2も3も約数にないので（0,0）つまり（偶,偶）です。

ここでa,bの候補となる整数1,2,3,4,6,8,9はそれぞれ
1,4,9は(偶,偶）、3は(偶,奇)、6は(奇,奇)、2,8は(奇,偶）です。

(72×a)/b、つまり（2^3×3^2×a)/bが平方数になるのは、この数が（偶,偶）となるときですが、
分子にあるaでは2,3の個数が増え、分母にあるbでは2,3の個数が減るので
72の(奇,偶)＋aの(〇,〇)-bの(〇,〇)=(偶,偶)となるときです。
なお72に2が3個、3が2個あるので、(72×a)/bはaが最小かつbが最大の場合でも割り切れます。

偶数±偶数=偶数、奇数±奇数=偶数、偶数±奇数=奇数、奇数±偶数=奇数　
だからaの(〇,〇)-bの(〇,〇)=(奇,偶）でなければなりませんが、こうなるのは
(偶,偶)-(奇,偶）のとき、すなわち1,4,9と2,8の組み合わせ、または
(偶,奇)-(奇,奇）のとき、すなわち3と6の組み合わせのときだけです。

答えは　(1,2)(2,1)(1,8)(8,1)(4,2)(2,4)(4,8)(8,4)(9,2)(2,9)(9,8)(8,9)(3,6)(6,3)

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

nihonsumire

ルートの中が、2乗の形になればルートが取れる。例えば√36のルートの中36=√2^2×3^2なので（2×３）^2で2×3がルートの外に出る。
だから72=2^2×2×3^2となる。この部分が2乗の形になるようにa,bの値を探せばよい。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

maskoto

補足　0個は偶数個として扱ってください

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

maskoto

72＝2³×3²だから
aとbに含まれる素因数2の合計は奇数個
3の合計は偶数個
となるようにしてあげれば良いです
なお、この規則があるため
5、7は含むことがでけません

お礼

ありがとうございました！