3次式の解き方について

質問

12x^3+10x^2-8x+1=0
この様な問題を解く時、大概簡単な数字又は分数をxに代入すれば0になり、１つの答えが分かり、他の答えも出せると思うのですが、１つ１つ数字を代入して解を見つける方法は正しいのでしょうか？
とても時間がかかると思いました。
この問題の解の１つはx=1/6なのですが皆様はどの様な方法で解を導きますか？

回答No.5

staratras · ベストアンサー

原理的に言えば、xの候補は±1,±1/2,±1/3,±1/4,±1/6,±1/12の12通りなので、これをすべて代入して確認するやりかたは正しいです。最初は労を惜しまずやってみた方がよいと思います。

ただしこの問題のように、xが分数になるような場合には計算ミスのおそれも増すので、何とか工夫して分かり易く効率的に求められないかと考えるのも理解できます。以下はその一例です

12x^3+10x^2-8x+1=0…(1)　x=0は(1)を満たさないので(1)の解の逆数を解とする方程式を考えます。

X=1/x すなわち　x=1/X を代入して整理すると

X^3-8X^2+10X+12=0…(2)

ここで(2)を満たす有理数の解があるとすれば、その解は(定数項の約数）/（最高次(3次)の項の係数の約数)の形で表されますので、Xの候補は±(12の約数）　つまり、Ｘ＝±1,±2,±3,±4,±6,±12です。

ここで(2)をX^3-8X^2+10X=-12 …(3)と変形するとXは偶数でなければならないことが分かります。なぜならば、何乗しても偶数は偶数、奇数は奇数になることと、(3)の左辺の-8X^2+10XはXが奇数・偶数に関わらず偶数になることを考慮すると、(3)の左辺はXが奇数なら奇数、Xが偶数なら偶数になるからです。

また、Xは4の倍数であってはならないこともわかります。なぜならばX=4n(n:整数）とおいて(3)へ代入して整理すると、X^3-8X^2+10X=8n(32n^2-16n+5)=-12 となり左辺は8の倍数、右辺は8の倍数にならずに矛盾するからです。

これで、Xの候補は偶数でかつ4の倍数でない数、つまり±2,±6に絞られました。これからX=6,つまりx=1/6を見つけ出すのは容易です。

お礼

回答ありがとうございます。
解を逆数とする方法は驚きました。又、偶数と奇数の法則を利用するなどいろんな工夫の仕方があるのですね。

回答No.4

sunflower-san

まず、一つの手掛かりは、整数係数多項式F(x)が有理数の解p/q(既約分数)を持つなら、
qはF(x)の最高次の係数を割り切り、
pはF(x)の最低次の係数(定数項)を割り切る、ということです。

これは、整数係数多項式が有理数係数多項式の範囲で積に分解出来るなら、整数係数多項式の範囲でも分解出来るという"ガウスの補題"の帰結です。

今回の場合ですと、12x^3+10x^2-8x+1は整数係数で、
最高次の係数は12, 最低次の係数は1なので、
有理数の解p/qがあるなら、
pは1の約数(つまり±1のみ)
qは12の約数(つまり符号を除いて1,2,3,4,6の5通り)
なので、調べるp/q=±1,±1/2,±1/3,±1/4,±1/6はそれほど多くないです。

さらに、F(x)を微分して、y=F(x)のグラフの概形を描けば、F(x)=0の解、つまりグラフがx軸と交わる(または接する)点の大まかな位置が分かります。
例えば今回の場合、y=F(x)のグラフの概形から、
F(x)は3つの実根を持ち、一番小さい根は-1よりも小さく
他の2つの根は0と1/2の区間にあることなどが見て取れますので、
実質的に調べるべき有理数解の候補は、1/3,1/4,1/6に絞り込めます。

最初の絞り込みで解p/qの候補が多過ぎるときなど、こうした解析的な手法と組み合わせれば、効率よく解の候補を絞り込めることがあります。いろいろ工夫してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
微積はあまり得意ではないですが、微分を用いてグラフを調べる方法は良い方法ですね。

回答No.3

adachirusan

度々すみません。No.2 ですが、言葉が足りなかったので補足します。
答えが一つとは限らないので、因数分解出来るならしなければなりません。

整式P(x)が x - a で割り切れるとき、P(a) = 0 という定理があります。
なので
12(x^3 + 5/6x^2 - 2/3x + 1/12) = 0

x^3 + 5/6x^2 - 2/3x + 1/12 = 0

で1/12の約数の中から、代入してイコール0になる数（1/6）を見つけられたら、
x - 1/6 で x^3 + 5/6x^2 - 2/3x + 1/12 の式を割り切れることになります。商はx^2 + x - 1/2 になるので

x^3 + 5/6x^2 - 2/3x + 1/12 = (x -1/6)(x^2 + x - 1/2)

と因数分解出来ます。なので答えは多分 1/6 と -1±√3 になるはずです。

お礼

回答ありがとうございます。
最高次の係数を１にした方が確かに計算しやすいですね。

回答No.2

adachirusan

最初に12でくくって、

12(x^3 + 5/6x^2 - 2/3x + 1/12) = 0

この最後の1/12から、代入してイコール0になる約数を探すというのはどうでしょうか。

回答No.1

hashioogi

もし因数分解できるとしたら、
[3つの1次式]
かまたは
[1次式と2次式の組み合わせ]
になるはず。
ということは因数分解できるとすると1つは必ず1次式。
そして、3次式の最高次の係数は12で、定数は1である。
12の約数は12、6、4、3、2、1で1の約数は1だけなので、1次式は
(12x±1)、(6x±1)、(4x±1)、(3x±1)、(2x±1)、(x±1)
のいずれか。
だから、12通りを確かめれば良い。（5x+2）なんてのは始めから問題外。

お礼

回答ありがとうございます。
１２通りまで減らせれば、それでも多いとはいえ１２通りの可能性のある答えの内どれかが正しいから楽になりますね。