水理学（ダルシーの法則と水深分布）

質問

ｘとｈの関係式（水深分布曲線）
ｈ^2=(h0^2)-(2Q/kB)x
ｈ0:ｘ=0での水位,ｋ透水係数,Ｂ：砂槽の奥行

ダルシーの法則から導き出す導出を教えてください。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

ダルシーの法則を用いて、お尋ねの関係式 \( h^2 = h_0^2 - \frac{2Q}{kB}x \) を導出する手順を説明します。

**ダルシーの法則**は、不圧地下水の流れに対して以下の形で記述されます：

\[ v = -k \frac{dh}{dx} \]

ここで、
- \( v \) は流速（正の方向とする流速は負の符号を持つ）
- \( k \) は透水係数
- \( \frac{dh}{dx} \) は水深 \( h \) の勾配

また、流量 \(Q\) は以下のように表現されます：

\[ Q = v \times B \times h \]

この式を変形して \( v \) を isolating（隔離）すると、

\[ v = \frac{Q}{Bh} \]

これをダルシーの法則に代入します：

\[ \frac{Q}{Bh} = -k \frac{dh}{dx} \]

この方程式を整理します：

\[ \frac{dh}{dx} = -\frac{Q}{kBh} \]

次に、分離変数法を用いてこの微分方程式を解きます：

\[ h \, dh = -\frac{Q}{kB} \, dx \]

両辺を積分します：

\[ \int{h \, dh} = -\frac{Q}{kB} \int{dx} \]

\[ \frac{1}{2} h^2 = -\frac{Q}{kB}x + C \]

ここで \(C\) は積分定数です。境界条件を適用して、 \( x = 0 \) のとき \( h = h_0 \) とすると、

\[ \frac{1}{2} h_0^2 = C \]

これを元の式に代入します：

\[ \frac{1}{2} h^2 = -\frac{Q}{kB}x + \frac{1}{2} h_0^2 \]

両辺を2倍して、

\[ h^2 = h_0^2 - \frac{2Q}{kB}x \]

こうして、あなたがお尋ねになった水深分布曲線 \( h^2 = h_0^2 - \frac{2Q}{kB}x \) をダルシーの法則から導出することができました。この関係式は地下水の流れに対する重要な解析ツールとなります。

ご不明点がありましたら、どうぞお知らせください。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による参考回答です。
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