最小二乗法の中に登場する直交階乗多項式について

質問

Ｃ．Ｒ．ワイリー著「工業数学＜上＞」という本で数学を勉強しているものです。最小二乗法という節の中に、直交多項式の定義が出てきました。この式の導出方法は、Ｗ．Ｅ．Ｍｉｌｎｅの文献を参照せよと注意書きがありましたが、英語が読めないので、同じ出版会社から出ている参考書を探し、幸いにも導出方法が載っていました。しかし、この中でもどうしても分からない部分があり質問します。内容は、以下の通りです。途中導出過程は、長いのと、この質問箱では、表記に限界があるので、はぶきます。知りたいという方は、おっしゃっていただければ、強引にでも書きますが・・・。この道に明るい方、納得できる回答をよろしくお願いします。

定義：
Σ_(x=0)^n P_(j,n)*P_(k,n) = 0 (j≠k)

参考書によるこの式の導出方法：
P_(m,n)(x) = 1 + b_1*x + b_2*(x)^(2) + ... + b_m*(x)^(m)とする。
Σ_(x=0)^n (x+s)^(s)P_(m,n)(x) = 0 ...........(1)
(注：ここで現す(x)^(m)などは、階乗多項式です。つまり、例えばx^(3)なら、x^(3) = x(x-1)(x-2)。以下同様)
(1)を満たすP_(m,n)(x)は、二項展開を用いた式となりますので省略します。分からないのは、この次。
次数qの任意の多項式Q(x)は、次のように書ける。
Q(x) = Σ_(s=0)^q A_s*(x+s)^(s)
(補：多分A_sとは、(x+s)^(s)の係数(実数値)と思われる。)
この方程式に、P_(m,n)(s)をかけてx=0からx=nまで、xについて加えると(1)式から分かるようにq<mであるときは次のようになる。
Σ_(x=0)^n Q(x)P_(m,n)(x) = 0 (?!)
(ここが一番分からない) 特別にもしm≠kであれば、
Σ_(x=0)^n P_(m,n)(x)P_(k,n)(x) = 0 (?!)
となる。これは始めに述べた定義式である。

以上で式の導出は終わりです。
一番引っかかるのは、「特別にもしm≠kであれば」というところ。(一番かんじんな所のような気がする。)
長々と書きましたが、理解できないところは言ってください。誰かわかる人お願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞補足について
Q(x) = Σ_(s=0)^q = A_s(x+s)^(s) = A_0 + A_1*(x+1) + a_2*(x+2)(x+1) + ... + A_q*(x+q)(x+q-1)...(x+1) ......(2)
は任意のq次式（正確にはq次以下の次数の整式）を表わせます。
とりあえず任意のq次式 r(x) が与えられたとすると、
A_q = r(x) の q次の係数
A_{q-1} = r(x) - A_q*(x+q)^(q) の q-1次の係数
A_{q-2} = r(x) - A_q*(x+q)^(q) - A_{q-1}*(x+q-1)^(q-1) の q-2次の係数
…
と順番に上から決めていけばいいです。
r(x) はq次式
r(x) - A_q*(x+q)^(q) はq-1次式
r(x) - A_q*(x+q)^(q) - A_{q-1}*(x+q-1)^(q-1) はq-2次式
…
になってますね。

で、補足についていえば、m≦qであれば、m次式であるP_(m,n)(x)が、Q(x)で表わせるわけです。

お礼

rabbit_catさん。頭の悪い質問者にお付き合いありがとうございました。補足についての返答に、何で！と思いましたが、実際自分なりにn=3ぐらいで具体的に係数の導出を試みて、その意味が分かりました。もっと応用力をつけていくことが大事かなと反省・・・。自分が感じる限り、rabbit_catさんは、熟練した学力を持っている方だなとお見受けしました。最後までお付き合い、ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

(1)の導出がＯＫで、
Σ_(x=0)^n Q(x)P_(m,n)(x) = 0 (?!) ... (2)
てとこも納得できるなら、
Σ_(x=0)^n P_(m,n)(x)P_(k,n)(x) = 0 (?!) ...(3)
は、単に、(2)の式で、Q(x) = P_(k,n)(x) としただけですよ。
Q(x)は、次数qの任意の多項式なわけですから、次数kの多項式である、P_(k,n)(x) についても(2)がなりたちます。

本当は、もっと、厳密に言えば、(2)の式は、q<m のときにしか成り立たないわけですから、そのままだと、k<mの場合にはしか(3)は成り立たないことになるわけですが、
k>mの場合には、kとmを入れ替えて考えれば同じことなんでＯＫです。

補足

rabbit_catさん、ありがとうございます。じつは、納得できてないところがあります。
Q(x) = Σ_(s=0)^q = A_s(x+s)^(s) = A_0 + A_1*(x+1) + a_2*(x+2)(x+1) + ... + A_q*(x+q)(x+q-1)...(x+1) ......(2)
と、
P_(m,n)(x) = Σ_(k=0)^m = 1 + b_1*x + b_2*x(x-1) + ... + b_m*x(x-1)(x-2)...(x-m+1) .........(4)
がなぜ同じなのですか！！
何かQ(x) = P_(m,n)(x)となるような条件式でもあれば分かるのですが・・・