差の分布（確率）

質問

(X,Y)が２次元正規分布(μ1,μ2,σ1^2,σ2^2,ρ)に従っているとき、
X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2), XとYの相関係数はρというのは間違いないと思っています。ところで、
(1) Y-Xは正規分布に従いますか？（XとYが独立でない場合にも再生性は保持されるのか？）
(2) 条件付き期待値E(Y-X|Y>X)は求められますか？

実は(2)が解きたいのですが、(1)が成り立つ（Y-X~N(μ2-μ1,σ1^2+2ρ σ1 σ2+ σ2^2)となるような気がするのですが）ならば、話が早くていいなぁと思いつつ、
同時密度関数h(x,y)を用いて、∫(-∞～+∞)h(t,z+t)dtをごりごり計算すれば(1)が解決するとは思いますが、それをごりごり計算している暇がなく・・・

ということで困っています。どなたかお助け願えないでしょうか？

回答No.1

stomachman

X,Yの直交座標系を回転してx,y直交座標系に写し、x,yが無相関（ρ=0）になるようにしてやれば良いのです。そしてY-Xをx,yで表せば、アトは簡単ですね。これが主成分分析(principal component analysis)というやりかたです。

お礼

stomachmanさん、ありがとうございます。仰せのとおりの方法を自分なりに解釈してみましたが、こんな感じでよいのでしょうか？

1. U=Xcosθ+Ysinθ, V=-Xsinθ+Ycosθにより確率変数(U,V)を定義する。
2. Cov(U,V)=cosθsinθ(-V(X)+V(Y))+((cosθ)^2-(sinθ)^2)Cov(X,Y)=0という方程式を解いて、回転角についてθ=(1/2)*arctan(2Cov(X,Y)/(V(X)-V(Y))とすればU,Vは無相関となる。
ここで、(U,V)は無相関な２次元正規分布に従うことから、（周辺分布）U,Vはそれぞれ独立な正規分布に従う。（２次元正規分布に限り、ρ=0は独立の十分条件だったはず）
3. X=Ucosθ-Ysinθ, Y=Usinθ+VcosθよりY-X=U(sinθ-cosθ)+V(sinθ+cosθ)。U,Vについての再生性を用いることが可能。

という方法を用いると、結局Y-X～N(E(Y-X),V(Y-X))が（Excel上数値的には）言えるような気がしました。（式で証明をするのはでかすぎて大変ですが・・・）

ちなみに(2)は求める値を間違えてました。。。ごめんなさい。でも(1)を解決していただいたおかげで見通しがついたような気がします。ありがとうございました。