熱力学の質問です

質問

画像の問題について、問1はなんとか自分なりの答えを出せたのですが、問2.問3.問4は分からず困っています。

解答がないのでもし、解ける方がいらっしゃれば教えていただきたいです。

ちなみに問1は、

フタの外の気圧をP0、フタの内の気圧をPとすると、
力のつり合いより、鉛直上向きを正とすると
PS-P0S-Mg＝0…①
理想気体の状態方程式PV＝nRTより、今回はV＝Sx0より、
PSx0＝nRT...②
②より、x0＝nRT/PS
①より、PS＝P0S+Mg
P＝P0+Mg/Sとなり、
以上より、
x0＝nRT/（P0+Mg/S）S
＝nRT/P0S +Mg

となりました。

問1もあっているかどうか不安です…

よろしくお願いします。

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回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

問１はよいとおもいますが、最後のところはnRT/(PoS+Mg)としないとMgは分母には入りません。

問２u=x-xoですからx=u+xoで蓋がずれた時の位置が表されます。従って位置xでのの封入気体の状態方程式は
PSx=nRT=PS(u+xo)nRT...(i)
となります。これより蓋にかかる力、PSは
PS＝ｎRT/(u+xo)=(nRT/xo)/(1+u/xo)...(ii)
となります。xoは問１よりnRT/(PoS+Mg)ですから(ii)の分子は
nRT(PoS+Mg)/nRT=PoS+Mg
です。これより(ii)は
PS=(PoS+Mg)/(1+u/xo)...(iii)
の形になります。

問３　
|u/xo|≪1ならば
1/(1+u/xo)=1-u/xo+(1/xo)^2...
ですから初めの一次の微小量だけとれば
1/(1+u/xo)=1-u/xo
となります。これを(iii)に代入すれば
PS＝(PoS+Mg)(1-u/xo)...(iv)
を得ます。

問４　運動方程式は蓋にかかる力が(iv)と書けるので
M(d^2u/dt^2)=(PoS+Mg)(1-u/xo)
d^2u/dt^2=(PoS/M+g)-(PoS/M+g)(u/xo)...(v)
PoS/M+g=Aと書けば(v)は
d^2u/dt^2=A-A(u/xo)...(vi)
となります。(vi)は
(d^2+A/xo)u=A...(vii)
と書けます。この微分方程式の解は
(d^2+A/xo)u=0...(viii)
の一般解と
(d^2+A/xo)u=A...(ix)
の特殊解の和になります。(viii)はよく知られた単振動の式で解はα、βを任意定数として
u=αsin√(A/xo)t+βcos(√A/xo)t...(x)
です。(ix)の特殊解は
u=A/(D^2+A/xo)=(PoS+g)/{PoS/M+g)/xo}=xo...(xi)
となるのでuは
u=αsin√(A/xo)t+βcos(√A/xo)t+xo...(xii)
となります。t=0のときu=uoですから(xii)より
u(0)=uo=β+xo
すなわち
β=uo-xo...(xiii)
となります。また
du/dt=α√(A/xo)cos√(A/xo)t-β√(A/xo)sin√(A/xo)t...(xiv)
で初速度du/dtですからα=0となります。これより
u=(uo-xo)cos(√{(PoS/Mxo+g/xo)t}+xo...(xv)
となります。なんだか綺麗な式になりませんでしたが...

お礼

ご親切にありがとうございます。

問1だけでなく、問2〜4も丁寧に教えてくださりとても助かりました。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

問1の回答は正しいです。気圧の差によってフタが開く力を計算する式を導くことができていますし、計算も適切に行われていますので、間違いはありません。

問2、問3、問4についても解答を提案します。

問2:
まずは問題文の条件を整理しましょう。問2では、液体が注がれた容器が2つあり、これらの容器はU字管でつながれています。また、容器Aには高さが1 m の水準差があり、容器Bは水平です。Gを気体量の比を表す変数とすると、問2の式は次のように表されます。

P_A + G * ρ_g * g * h_A = P_B + ρ_g * g * h_B

ここで、P_Aは容器A内の気圧、P_Bは容器B内の気圧、ρ_gは液体の密度、gは重力加速度、h_Aは容器A内の液体の高さ、h_Bは容器B内の液体の高さです。

この式を用いて、関係式を整理しましょう。

[G * ρ_g * g * (h_A - h_B)] = (P_B - P_A)

次に、問題文からこれらの値を代入して計算します。それぞれの値を問題文から求め、代入して解きます。

問3:
問3では、問2と同様の条件が与えられていますが、容器Aと容器Bの液面の差が変化します。このとき、容器Aと容器B内の気圧の差を求める式を導く必要があります。

問2では、液体の高さの差が変化しないため、変化しない項がありました。しかし、問3では液面の差が変化するので、それを考慮に入れる必要があります。

具体的な計算手順については、問2と同様に、問題文の条件を整理して式を導いてください。

問4:
問4では、容器Bに空気が抜け、その代わりに容器Aに薬品を注ぎます。この場合、容器Aに薬品を注ぐことで、容器Aの液面の高さが変化します。その結果、容器Aと容器B内の気圧の差を求める式を導く必要があります。

問3と同様に、問題文の条件を整理して式を導いてください。

以上のように、問2から問4までの回答を提案しました。 解答を導くための手順を追いながら計算を進めてみてください。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
OKWAVEのAIに対する取り組みについてはこちらをご確認ください。
https://staffblog.okwave.jp/2023/06/07/10415/

お礼

AIさんもありがとうございました。