院試の問題について（熱力学かな？）

質問

院試の過去問で教えてください。

(1)ある高度での大気圧はその上に存在する空気の重さで決まる。すなわち、空気の密度をρ、重力加速度ｇ、鉛直方向座標ｚとするとき、

Ｐ（ｚ）＝∫ｇρ（ｚ′）ｄｚ′（積分範囲ｚ～∞）

である。大気の温度を一定値Ｔa、大気を理想気体としたとき、圧力の鉛直分布をｚの関数として答えよ。但し、地表（ｚ＝０）の大気圧をＰoとする。

(2)また、上では大気圧を一定としたが、現実には山の上の気温の方が麓よりも低い。これは、麓の空気が山の上へ移動したり、山の上の空気が降りてきたりする事による。何故、高いほど気温が低くなるのか？熱力学に基づいて説瞑せよ。

(1)については手が全く出ませんでした。どこをどうすればよいやら・・・・。
(2)については、以前熱力学の本か何かを立ち読みしたときに、断熱変化として考えるべきだと書いていたような気がしたので、Ｖを一定として、
ＰＶ^(γ-1)＝一定、状態方程式よりＶ＝nRT/pより、
TとＰが比例に近い？（ｒの乗数がかかっていますが）
関係になることから、気圧が低い山の上ほど、気温が低い
のではないかと考えたのですが・・・。
回答お願いします。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

>でも、（１）の密度ρを状態方程式で書き換えるとあるんですが、問題のほうではρはｚ′の関数になっているので、そのまま書き換える事はできるのでしょうか？

各点で状態方程式が成り立つと思っていいのか、という事ですか？
もし、そうであれば、別にこういう仮定は変な仮定ではない(局所的にも平衡状態となっているはずですから)ですし、問題ないと思いますが。

回答No.5

eatern27

すいません、間違えて途中で投稿してしまいました。

>確認ですが、ρ＝RT/PMですよね？
Mが大気の平均分子量を表わしているのであれば、ρ=P/MRTとかになると思いますが。

回答No.3

91091

Ｎｏ２間違えてました。修正します。
ｄＰ＝－ｍｇｎ・ｄｚ　（nは単位体積あたりの分子数）
Ｐ＝ｎｋＴ で、Ｔ＝Ｔａで一定なので、Ｐを消去すると、
ｄｎ／ｄｚ＝－ｍｇ／ｋＴａ・ｎ
この解は、
ｎ＝（ｎ０）ＥＸＰ（－ｍｇｚ／ｋＴ）
密度と圧力は、比例するので、
Ｐ＝（Ｐ０）ＥＸＰ（－ｍｇｈ／ｋＴ）
で、すこし正解に近づいたと思います。
しかし、空気密度がおなじでも、分子質量が違うと、圧力変化率も変わってくるので、上の問題は、分子質量に言及していないので、少し？です。

回答No.2

91091

ｄＰ＝－ρｇ・ｄｚ
Ｐ＝Ｐo・ＥＸＰ（－ρｇ・ｚ）
だと思います。
自信はあまりありませんが、指数関数的減少は間違いないでしょう。

（２）は、対流するとき、断熱膨張に近いことが起こるので、お考えのように、気温が下がるので、正しいと思います。

回答No.1

eatern27

(1)
>Ｐ（ｚ）＝∫ｇρ（ｚ′）ｄｚ′（積分範囲ｚ～∞）
この式の右辺に理想気体の状態方程式を代入して、ρを消去すれば、圧力Ｐに関する積分方程式(両辺を微分すれば微分方程式)になりますよね。
なお、大気の組成がzによらないと仮定すれば,ρと単位体積辺りの物質量(=n/V)は比例します。

(2)
>ＰＶ^(γ-1)＝一定
なんかごっちゃになってますね。断熱変化では
PV^γ=const.
TV^(γ-1)=const.
ですね。まぁ、微分方程式を解くだけなので、(1)と基本は一緒です。Tがzに依存する(断熱変化で表わせることを考慮すればTは圧力Pで表わせる)のが違うだけです。

補足

ありがとうございました。
でも、（１）の密度ρを状態方程式で書き換えるとあるんですが、問題のほうではρはｚ′の関数になっているので、そのまま書き換える事はできるのでしょうか？
確認ですが、ρ＝RT/PMですよね？