熱力学の問題です。

質問

以前、ＯＫＷＥＢに投稿されていた質問で、回答がないまま締め切られていた問題です。興味があったので、計算結果を付加して投稿しました。解いては見たのですが、自信がないので指摘をお願いします。（長文です）
（元の質問）物理の問題３問の答えと解説をお願いします。
底のある円筒容器に気体が上部にあるピストンで封じられている。気体は円筒容器底に取り付けられたヒーターによって暖めることができる。円筒容器の内側の上下にストッパーがあり、ピストンはこれら２つのストッパーの間ではなめらかに動くことができる。ただし、ピストンの質量は無視できるものとし、ピストンの断面積をＳ、移動可能距離をＬとする。また、重力加速度の大きさをｇとする。

（１） 最初、ピストンは下のストッパーに接しており、このときの容器内の気体の圧力ｐ０と絶対温度Ｔ０は大気と等しく、体積はＶ０であった。ピストンの上に質量Ｍのおもりをのせて、ヒーターにより気体を暖めた。気体の圧力がｐ１になったとき、ピストンはストッパーを離れて上昇し始めた。ｐ１はいくらか。
（計算結果）p1S=p0S+Mgよりp1=p0+Mg/S
となりませんか。
（２） ピストンが上のストッパーに当たったときに、ヒーターからの熱の供給を止め、ピストンの上からおもりを取り除いた。その後、気体から熱が大気中に逃げ、温度が下がった。ピストンが上のストッパーから離れ、下降し始めるときの絶対温度はＴ０の何倍か。
（計算結果）ピストンが上のストッパーにあるときの体積V=V0+LSなので、
ボイルシャルルの法則からP1V/T=P0V0/T0より、
TはT0の(p0+Mg/S)(V0+LS)/P0V0倍になる。
（３） さらに十分に時間が経過したのちに、容器内の気体の絶対温度は大気と同じＴ０になった。このとき、ピストンは下のストッパーに接して止まり、気体は最初の状態に戻った。このようにしてピストンが上下のストッパーを往復する間に、気体が外部に対してした全仕事はいくらか。
（計算結果）仕事は、状態変化した間の面積なので、
ピストンが上昇した時の仕事は、w1=p1Δv＝p1{(V0+LS)-V0}=p1LS
下降して減少した面積はp0V0なので、
全仕事は、w1-p0V0=(LS-V0)p0+MgL
となりました。
よろしくお願いします。

物理の問題３問の答えと解説をお願いします。
底のある円筒容器に気体がピストンで封じられている。気体は底に取り付けられたヒーターによって暖めることができる。円筒容器の内側の上下にストッパーがあり、ピストンはこれら２つのストッパーの間ではなめらかに動くことができる。ただし、ピストンの質量は無視できるものとし、ピストンの断面積をＳ、移動可能距離をＬとする。また、重力加速度の大きさをｇとする。

（１） 最初、ピストンは下のストッパーに接しており、このときの容器内の気体の圧力ｐ０と大気の絶対温度Ｔ０に等しく、退席はＶ０であった。ピストンの上に質量ｍのおもりをのせて、ヒーターにより気体を暖めた。気体の圧力がｐ１になったとき、ピストンはストッパーを離れて上昇し始めた。ｐ１はいくらか。

（２） ピストンが上のストッパーに当たったときに、ヒーターからの熱の供給を止め、ピストンの上からおもりを取り除いた。その後、気体から熱が大気中に逃げ、温度が下がった。ピストンが上のストッパーから離れ、下降し始めるときの絶対温度はＴ０の何倍か。

（３） さらに十分に時間が経過したのちに、容器内の気体の絶対温度は大気と同じＴ０になった。このとき、ピストンは下のストッパーに接して止まり、気体は最初の状態に戻った。このようにしてピストンが上下のストッパーを往復する間に、気体が外部に対してした全仕事はいくらか。

回答No.1

deshabari-haijo · ベストアンサー

ご要望がありましたので、遅れ馳せながら回答します。

(1)
力のつり合いを考えると、p1S=p0S+mgであるから、p1=p0+mg/S

(2)
ピストンが上のストッパーにあるときの体積Vは、
V=V0+SL
LSではなくSLとすべき。
（参考）円柱・角柱の体積：底面積×高さ
『ボイル・シャルルの法則』から、p1V/T=p0V0/T0
これから、T=p1V/p0V0×T0
この式において、p1=p0+mg/S、V=V0+SLとすると、
T=(p0+mg/S)(V0+SL)/p0V0×T0
よって、TはT0の(p0+mg/S)(V0+SL)/p0V0倍になります。

(3)
ピストンが上昇したとき、気体が外部（大気）にした仕事は、W1=p1⊿V＝p1SL
ピストンが下降したとき、外力（大気圧）が気体にした仕事は、W2=p0⊿V＝p0SL
よって、気体が外部に対してした全仕事は、W1-W2=p1SL-p0SL=(p1-p0)SL
この式において、p1=p0+mg/Sとすると、
W1-W2=(p1-p0)SL=( p0+mg/S-p0)SL=mgL
(2)において、ピストンの上からおもりを取り除いているので、ピストンが下降するときには大気圧p0しか加わりません。
つまり、p0のみによって、ピストンが押し戻されます。
結果的に、p0で往復した分の仕事は、相殺されることになります。

（注）
『ボイル・シャルルの法則』において、pは小文字、VとTは大文字です。
また、仕事Wと⊿（デルタ）VのVも大文字です。
質量は上の(1)と下の(1)で大文字と小文字が混在していますが、一般的には小文字mを用いるので、そのようにしました。

お礼

deshabari-haijoさま
文字の使い方も含め、有難うございます。
(3)は、面積そのものを見間違えていたことがわかりました。
おかげさまでスッキリしました。