平方根(中3)

質問

何故　n=2×3×k^2　となるのでしょうか？
正直全然分からなすぎて何が分からないのか分からないです...

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

96 = 32・3 = 2^5・3 = 2^4・2・3
より
96n = 2^4・2・3・n
ってなるやろ。
√(96n)が自然数になる、っちゅうことは、
√の中が平方数（つまりなんかの2乗）でなかったらあかんねん。
2^4の部分はすでに平方数になっとるから、あとは残りの6nの部分が
平方数になったらええねん。ちゅうことは、
6n = 2・3・nが2の偶数乗・3の偶数乗になるようにしたらええねん。
6nでは、2は1乗やから奇数乗、3も1乗やから奇数乗や。
これを1より大きくて1番小さい偶数は2やろ。せやから、
6n = (2^2)・(3^2)
になるようにしたらええ、っちゅうことやねん。
つまり、
2・3・n = (2^2)・(3^2)になるnっていくつや？
って聞かれてんねん。答えは6や。

お礼

理解出来ました...！ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

√(96n)が自然数となるような最小のnを求めたいわけですよね。
ということは、√の中にある96nがちょうど何かの2乗になっている必要がある、っていうのはわかりますか？これをt^2とすると
96n = t^2 ...(1)
ってなり、√(96n) = t
っていう風にきれいにルートがはずれる状態になるわけです。
(1)において、左辺にある96を素因数分解すると
96 = 2^5・3
ってなりますよね。ここで、2^5のうち2^4は2^2の2乗だから、
きれいにルートの外へ2^2 = 4として出られるわけです。
いま、ルートの中に残ってるのは2・3・nです。
これがきれいにルートの外へ出られるようにするには、
2・3・nがちょうど何かの2乗になってないといけないわけです。
これをk^2とおいて、2・3・n = k^2
としてるんです。
2も3も1乗の状態ですから、これらをできるだけ小さい偶数乗に
しないといけません。1より大きくていちばん小さい偶数は2ですから、
2・3・n = (2^2)・(3^2) = 6^2にしてやれば、
96n全体がきれいにルートの外へ出られるようになります。
よって条件をみたす最小の自然数n = 2・3 = 6という解を得ます。

お礼

分かりやすかったです！ありがとうございます。